4 Fragen zu Ganzzahlige

Die Gleichung \((x_1)^n (x_2)^n \cdots (x_n)^n = y^n\) hat ganzzahlige Lösungen, wenn \(y\) das Produkt der \(x_i\) ist, also \(y = x_1 x_2 \cdots x_n\). Das bedeutet, dass die Gleichung in der Form \((x_1 x_2 \cdots x_n)^n = y^n\) geschrieben werden kann. Da \(y\) das Produkt der \(x_i\) ist, sind die ganzzahligen Lösungen für \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) und \(y\) alle Kombinationen von ganzen Zahlen, die diese Bedingung erfüllen. Zum Beispiel, wenn \(n = 2\) und \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\), dann ist \(y = 2 \cdot 3 = 6\), und die Gleichung \(2^2 \cdot 3^2 = 6^2\) ist erfüllt. Zusammengefasst: Die ganzzahligen Lösungen für die Gleichung \((x_1)^n (x_2)^n \cdots (x_n)^n = y^n\) sind alle Kombinationen von ganzen Zahlen \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) und \(y\), bei denen \(y = x_1 x_2 \cdots x_n\) gilt.

Ganzzahlige Koordinaten sind Koordinaten, bei denen sowohl die x- als auch die y-Werte ganze Zahlen sind. Diese Art von Koordinaten wird häufig in der Mathematik, Informatik und Computergrafik verwendet, insbesondere in Rastergrafiken und Gittermodellen. Ein Beispiel für ganzzahlige Koordinaten wäre (3, 5) oder (-2, 4). Sie sind nützlich, um Positionen in einem diskreten Raum zu beschreiben, wie etwa Pixel in einem Bild oder Knoten in einem Gitter.

Um die ganzzahligen Lösungen der Gleichung \(x^2 + y^2 + z^2 = 5\) zu finden, betrachten wir die möglichen Werte für \(x\), \(y\) und \(z\). Da \(x^2\), \(y^2\) und \(z^2\) nicht negativ sind, können die Werte von \(x\), \(y\) und \(z\) nur in einem bestimmten Bereich liegen. Die möglichen Werte für \(x^2\), \(y^2\) und \(z^2\) sind 0, 1, 4, da \(5\) die Summe ist und die Quadrate größer als 5 nicht sein können. Wir untersuchen die Kombinationen: 1. **Fall 1:** \(x^2 = 5\), \(y^2 = 0\), \(z^2 = 0\) - Lösungen: \((\pm\sqrt{5}, 0, 0)\) – keine ganzzahligen Lösungen. 2. **Fall 2:** \(x^2 = 4\), \(y^2 = 1\), \(z^2 = 0\) - Lösungen: \((\pm 2, \pm 1, 0)\) - Kombinationen: \((2, 1, 0)\), \((2, -1, 0)\), \((-2, 1, 0)\), \((-2, -1, 0)\) - Permutationen: \(4\) (für \(x\) und \(y\) kann man \(0\) an die dritte Position setzen, was \(3!\) Permutationen ergibt, aber \(0\) ist nicht variabel). 3. **Fall 3:** \(x^2 = 1\), \(y^2 = 1\), \(z^2 = 3\) - Lösungen: \((\pm 1, \pm 1, \pm 1)\) – keine ganzzahligen Lösungen. 4. **Fall 4:** \(x^2 = 1\), \(y^2 = 4\), \(z^2 = 0\) - Lösungen: \((\pm 1, \pm 2, 0)\) - Kombinationen: \((1, 2, 0)\), \((1, -2, 0)\), \((-1, 2, 0)\), \((-1 -2, 0)\) - Permutationen: \(6\) (da \(1\) und \(2\) variabel sind). 5. **Fall 5:** \(x^2 = 0\), \(y^2 = 0\), \(z^2 = 5\) - Lösungen: \((0, 0, \pm\sqrt{5})\) – keine ganzzahligen Lösungen. Zusammenfassend gibt es die folgenden ganzzahligen Lösungen: - Aus Fall 2: \(4\) Lösungen - Aus Fall 4: \(6\) Lösungen Insgesamt gibt es also \(4 + 6 = 10\) ganzzahlige Lösungen für die Gleichung \(x^2 + y^2 + z^2 = 5\).

Um die Anzahl der ganzzahligen Quadrate zu bestimmen, die Teiler von \(20^{24}\) sind, müssen wir zunächst die Primfaktorzerlegung von \(20\) durchführen. Die Zahl \(20\) kann als \(20 = 2^2 \cdot 5^1\) geschrieben werden. Daher ergibt sich: \[ 20^{24} = (2^2 \cdot 5^1)^{24} = 2^{48} \cdot 5^{24} \] Ein Teiler von \(20^{24}\) hat die Form \(2^a \cdot 5^b\), wobei \(0 \leq a \leq 48\) und \(0 \leq b \leq 24\). Für einen Teiler, der ein Quadrat ist, müssen sowohl \(a\) als auch \(b\) gerade Zahlen sein. Die möglichen Werte für \(a\) (gerade Zahlen zwischen 0 und 48) sind: \(0, 2, 4, \ldots, 48\). Das sind insgesamt \(25\) Werte (da die Anzahl der geraden Zahlen von \(0\) bis \(48\) durch \(2\) teilbar ist: \(\frac{48}{2} + 1 = 25\)). Die möglichen Werte für \(b\) (gerade Zahlen zwischen 0 und 24) sind: \(0, 2, 4, \ldots, 24\). Das sind insgesamt \(13\) Werte (da die Anzahl der geraden Zahlen von \(0\) bis \(24\) ebenfalls durch \(2\) teilbar ist: \(\frac{24}{2} + 1 = 13\)). Um die Gesamtanzahl der ganzzahligen Quadrate zu berechnen, die Teiler von \(20^{24}\) sind, multiplizieren wir die Anzahl der Möglichkeiten für \(a\) und \(b\): \[ 25 \cdot 13 = 325 \] Somit gibt es insgesamt \(325\) ganzzahlige Quadrate, die Teiler von \(20^{24}\) sind.