Herleitung der Henderson-Hasselbalch-Gleichung aus dem Massenwirkungsgesetz.

Die Henderson-Hasselbalch-Gleichung ist eine wichtige Beziehung in der Biochemie und der Chemie, die den pH-Wert einer Pufferlösung beschreibt. Sie leitet sich aus dem Massenwirkungsgesetz ab und kann wie folgt hergeleitet werden:

1. **Massenwirkungsgesetz**: Für eine allgemeine Säure-Base-Reaktion, wie zum Beispiel die Dissoziation einer schwachen Säure (HA) in ihre konjugierte Base (A⁻) und Wasserstoffionen (H⁺), gilt:

\[
HA \rightleftharpoons H^+ + A^-
\]

Das Massenwirkungsgesetz für diese Reaktion lautet:

\[
K_a = \frac{[H^+][A^-]}{[HA]}
\]

wobei \(K_a\) die Säurekonstante ist.

2. **Umformung der Gleichung**: Um die Gleichung nach dem pH-Wert umzuformen, nehmen wir den negativen Logarithmus auf beiden Seiten:

\[
-\log(K_a) = -\log\left(\frac{[H^+][A^-]}{[HA]}\right)
\]

Dies kann weiter umgeformt werden zu:

\[
-\log(K_a) = -\log([H^+]) + \log([A^-]) - \log([HA])
\]

3. **Einführung des pK_a**: Der negative Logarithmus der Säurekonstante \(K_a\) wird als \(pK_a\) definiert:

\[
pK_a = -\log(K_a)
\]

Damit wird die Gleichung:

\[
pK_a = -\log([H^+]) + \log([A^-]) - \log([HA])
\]

4. **Umstellung zur Henderson-Hasselbalch-Gleichung**: Um die Gleichung in die Form der Henderson-Hasselbalch-Gleichung zu bringen, stellen wir sie um:

\[
\log([A^-]) - \log([HA]) = pK_a + \log([H^+])
\]

Dies kann als:

\[
\log\left(\frac{[A^-]}{[HA]}\right) = pK_a - \log([H^+])
\]

umgeschrieben werden. Da \(-\log([H^+])\) gleich \(pH\) ist, erhalten wir schließlich:

\[
pH = pK_a + \log\left(\frac{[A^-]}{[HA]}\right)
\]

Dies ist die Henderson-Hasselbalch-Gleichung, die den pH-Wert einer Pufferlösung in Abhängigkeit von der Konzentration der konjugierten Base und der schwachen Säure beschreibt.