Wie groß muss die Substratkonzentration im Vergleich zu Km sein, um ein Viertel der Maximalgeschwindigkeit zu erreichen?

Um zu bestimmen, wie groß die Substratkonzentration \([S]\) im Vergleich zur Michaelis-Menten-Konstante \(K_m\) sein muss, damit ein Viertel der Maximalgeschwindigkeit \(V_{max}\) erreicht wird, kann die Michaelis-Menten-Gleichung verwendet werden:

\[ V = \frac{V_{max} \cdot [S]}{K_m + [S]} \]

Gesucht ist die Substratkonzentration \([S]\), bei der \(V = \frac{1}{4} V_{max}\) ist. Setze dies in die Gleichung ein:

\[ \frac{1}{4} V_{max} = \frac{V_{max} \cdot [S]}{K_m + [S]} \]

Teile beide Seiten durch \(V_{max}\):

\[ \frac{1}{4} = \frac{[S]}{K_m + [S]} \]

Multipliziere beide Seiten mit \(K_m + [S]\):

\[ \frac{1}{4} (K_m + [S]) = [S] \]

Erweitere die linke Seite:

\[ \frac{1}{4} K_m + \frac{1}{4} [S] = [S] \]

Subtrahiere \(\frac{1}{4} [S]\) von beiden Seiten:

\[ \frac{1}{4} K_m = [S] - \frac{1}{4} [S] \]

Fasse die rechte Seite zusammen:

\[ \frac{1}{4} K_m = \frac{3}{4} [S] \]

Teile beide Seiten durch \(\frac{3}{4}\):

\[ [S] = \frac{\frac{1}{4} K_m}{\frac{3}{4}} \]

\[ [S] = \frac{1}{4} K_m \cdot \frac{4}{3} \]

\[ [S] = \frac{1}{3} K_m \]

Daher muss die Substratkonzentration \([S]\) ein Drittel der Michaelis-Menten-Konstante \(K_m\) betragen, damit ein Viertel der Maximalgeschwindigkeit erreicht wird.