Wie interpretiere ich die Umwandlung von 54% 238U-Kernen in 206Pb-Kerne eines Meteoriten?

Um das Alter des Meteoritenbruchstücks zu bestimmen, kann die Halbwertszeit von Uran-238 (238U) verwendet werden. Die Halbwertszeit von 238U beträgt etwa 4,468 Milliarden Jahre. Wenn 54% der ursprünglichen 238U-Kerne in 206Pb-Kerne umgewandelt wurden, bedeutet das, dass 46% der ursprünglichen 238U-Kerne noch vorhanden sind. Die Zerfallsgleichung lautet: \[ N(t) = N_0 \cdot (0,5)^{t/T_{1/2}} \] Dabei ist: - \( N(t) \) die Anzahl der verbleibenden 238U-Kerne nach der Zeit \( t \), - \( N_0 \) die ursprüngliche Anzahl der 238U-Kerne, - \( T_{1/2} \) die Halbwertszeit von 238U, - \( t \) die gesuchte Zeit. Da 46% der ursprünglichen 238U-Kerne noch vorhanden sind, kann die Gleichung umgestellt werden: \[ 0,46 = (0,5)^{t/4,468 \text{ Milliarden Jahre}} \] Um \( t \) zu finden, wird der Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung angewendet: \[ \log(0,46) = \log((0,5)^{t/4,468}) \] \[ \log(0,46) = \frac{t}{4,468} \cdot \log(0,5) \] Nun wird nach \( t \) aufgelöst: \[ t = \frac{\log(0,46)}{\log(0,5)} \cdot 4,468 \text{ Milliarden Jahre} \] Die Logarithmen werden berechnet: \[ \log(0,46) \approx -0,337 \] \[ \log(0,5) \approx -0,301 \] Daraus ergibt sich: \[ t = \frac{-0,337}{-0,301} \cdot 4,468 \text{ Milliarden Jahre} \] \[ t \approx 1,12 \cdot 4,468 \text{ Milliarden Jahre} \] \[ t \approx 5,00 \text{ Milliarden Jahre} \] Das Alter des Meteoritenbruchstücks beträgt also etwa 5 Milliarden Jahre.