Was sind die Gewinnchancen bei einer Urne mit 6 roten, 3 weißen und 1 schwarzen Kugel, wenn der Einsatz 1 Euro beträgt?

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Was sind die Gewinnchancen bei einer Urne mit 6 roten, 3 weißen und 1 schwarzen Kugel, wenn der Einsatz 1 Euro beträgt?

Antwort

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10 Kugeln (6 rot, 3 weiß, 1 schwarz). 2 ziehen ohne zurücklegen. Einsatz 1 €. Gewinne: ww 2€, rr 1,25€, wr 1,5€, s 0€. Wahrscheinlichkeiten, Mindestgewinn?

Gesamt 10 Kugeln (6 r + 3 w + 1 s). 2 Ziehungen ohne Zurücklegen. Einsatz 1 €. Gewinn bei ww 2€, rr 1,25€, wr 1,5€, mit einer s 0€. Gewinnwahrscheinlichkeit?

Wie zieht David zwei Kugeln nacheinander mit Zurücklegen aus einem Topf mit 3 roten und 7 blauen Kugeln?

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Um die Wahrscheinlichkeiten und mögliche Gewinne bei einem Einsatz von 1 Euro zu berechnen, wenn eine Kugel aus einer Urne mit 6 roten, 3 weißen und 1 schwarzen Kugel gezogen wird, sind folgende Schritte notwendig: 1. **Gesamtanzahl der Kugeln**: Es gibt insgesamt 10 Kugeln (6 rote + 3 weiße + 1 schwarze). 2. **Wahrscheinlichkeiten**: - Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen: \( \frac{6}{10} = 0.6 \) - Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen: \( \frac{3}{10} = 0.3 \) - Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen: \( \frac{1}{10} = 0.1 \) 3. **Gewinne und Verluste**: - Angenommen, der Gewinn für eine rote Kugel beträgt 2 Euro. - Der Gewinn für eine weiße Kugel beträgt 3 Euro. - Der Gewinn für eine schwarze Kugel beträgt 10 Euro. 4. **Erwartungswert**: Der Erwartungswert (E) des Gewinns kann berechnet werden, indem man die Gewinne mit ihren jeweiligen Wahrscheinlichkeiten multipliziert und die Ergebnisse summiert: \( E = (0.6 \times 2) + (0.3 \times 3) + (0.1 \times 10) \) \( E = 1.2 + 0.9 1 \) \( E = 3.1 \) 5 **Nettoerwartungswert**: Da der Einsatz 1 Euro beträgt, muss dieser vom Erwartungswert abgezogen werden, um den Nettoerwartungswert zu erhalten: \( Nettoerwartungswert = 3.1 - 1 = 2.1 \) Das bedeutet, dass der durchschnittliche Gewinn pro Spiel 2.1 Euro beträgt.

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Um den erwarteten Gewinn zu berechnen, müssen die Wahrscheinlichkeiten für jede mögliche Kombination der gezogenen Kugeln und die entsprechenden Gewinne berücksichtigt werden. Es... [mehr]

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Um den erwarteten Gewinn zu berechnen, müssen die Wahrscheinlichkeiten für jede mögliche Kombination der gezogenen Kugeln und die entsprechenden Gewinne berücksichtigt werden. Es gibt insgesamt 10 Kugeln: 6 rote (r), 3 weiße (w) und 1 schwarze (s). Zwei Kugeln werden ohne Zurücklegen gezogen. Die möglichen Kombinationen und ihre Wahrscheinlichkeiten sind: 1. Zwei rote Kugeln (rr): - Wahrscheinlichkeit: (6/10) * (5/9) = 30/90 = 1/3 - Gewinn: 1,25 € 2. Zwei weiße Kugeln (ww): - Wahrscheinlichkeit: (3/10) * (2/9) = 6/90 = 1/15 - Gewinn: 2 € 3. Eine rote und eine weiße Kugel (rw oder wr): - Wahrscheinlichkeit: (6/10) * (3/9) + (3/10) * (6/9) = 36/90 = 2/5 - Gewinn: 1,5 € 4. Eine schwarze Kugel (s) und eine andere Kugel (r oder w): - Wahrscheinlichkeit: (1/10) * (9/9) + (9/10) * (1/9) = 1/10 + 1/10 = 1/5 - Gewinn: 0 € Der erwartete Gewinn (E) kann nun berechnet werden: E = (1/3 * 1,25 €) + (1/15 * 2 €) + (2/5 * 1,5 €) + (1/5 * 0 €) E = (/ * 1,25) + (1/15 * 2 + (2/5 * 1,5) + (1/5 * 0) E = (0,4167) + (0,1333) + (0,6) + (0) E = 1,15 € Da der Einsatz 1 € beträgt, ist der Mindestgewinn 0,5 €: Mindestgewinn = Erwarteter Gewinn - Einsatz Mindestgewinn = 1,15 € - 1 € Mindestgewinn = 0,15 € Der Mindestgewinn beträgt also 0,15 €.

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Um die Gewinnwahrscheinlichkeit zu berechnen, müssen die Wahrscheinlichkeiten für jede mögliche Kombination der Ziehungen und die entsprechenden Gewinne berücksichtigt werden. Hier... [mehr]

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Um die Gewinnwahrscheinlichkeit zu berechnen, müssen die Wahrscheinlichkeiten für jede mögliche Kombination der Ziehungen und die entsprechenden Gewinne berücksichtigt werden. Hier sind die Schritte zur Berechnung: 1. **Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für jede Kombination:** - **ww (weiß-weiß):** \[ P(ww) = \frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15} \] - **rr (rot-rot):** \[ P(rr) = \frac{6}{10} \times \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3} \] - **wr (weiß-rot) oder rw (rot-weiß):** \[ P(wr) = \frac{3}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{18}{90} = \frac{1}{5} \] \[ P(rw) = \frac{6}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{18}{90} = \frac{1}{5} \] Da wr und rw gleichwertig sind: \[ P(wr \text{ oder } rw) = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5} \] - **Kombinationen mit einer schwarzen Kugel (s):** \[ P(s) = \frac{1}{10} \times \frac{9}{9} + \frac{9}{10} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \] 2. **Berechne die erwarteten Gewinne:** - **Gewinn bei ww: 2€** - **Gewinn bei rr: 1,25€** - **Gewinn bei wr oder rw: 1,5€** - **Gewinn bei einer schwarzen Kugel: 0€** 3. **Erwarteter Gewinn:** \[ E(Gewinn) = P(ww) \times 2 + P(rr) \times 1,25 + P(wr \text{ oder } rw) \times 1,5 + P(s) \times 0 \] Setze die Wahrscheinlichkeiten ein: \[ E(Gewinn) = \frac{1}{15} \times 2 + \frac{1}{3} \times 1,25 + \frac{2}{5} \times 1,5 + \frac{1}{5} \times 0 \] Berechne die einzelnen Terme: \[ E(Gewinn) = \frac{2}{15} + \frac{1,25}{3} + \frac{3}{5} \] Um die Brüche zu addieren, bringe sie auf einen gemeinsamen Nenner (15): \[ E(Gewinn) = \frac{2}{15} + \frac{1,25 \times 5}{15} + \frac{3 \times 3}{15} \] \[ E(Gewinn) = \frac{2}{15} + \frac{6,25}{15} + \frac{9}{15} \] \[ E(Gewinn) = \frac{2 + 6,25 + 9}{15} = \frac{17,25}{15} = 1,15 \] Der erwartete Gewinn beträgt also 1,15€. Da der Einsatz 1€ beträgt, ist der Nettogewinn 0,15€.

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Wenn David zwei Kugeln nacheinander aus einem Topf mit 3 roten und 7 blauen Kugeln zieht und jede Kugel nach dem Ziehen wieder zurücklegt, bleibt die Wahrscheinlichkeit für jede Ziehung glei... [mehr]

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Wenn David zwei Kugeln nacheinander aus einem Topf mit 3 roten und 7 blauen Kugeln zieht und jede Kugel nach dem Ziehen wieder zurücklegt, bleibt die Wahrscheinlichkeit für jede Ziehung gleich, da die Zusammensetzung des Topfes sich nicht ändert. 1. **Erste Ziehung:** - Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen: \(\frac{3}{10}\) (3 rote Kugeln von insgesamt 10 Kugeln) - Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu ziehen: \(\frac{7}{10}\) (7 blaue Kugeln von insgesamt 10 Kugeln) 2. **Zweite Ziehung:** - Da die Kugel nach der ersten Ziehung wieder zurückgelegt wird, bleibt die Wahrscheinlichkeit für die zweite Ziehung gleich wie bei der ersten Ziehung: - Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen: \(\frac{3}{10}\) - Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu ziehen: \(\frac{7}{10}\) Da jede Ziehung unabhängig ist, multiplizieren sich die Wahrscheinlichkeiten für die Kombinationen der Ziehungen: - Wahrscheinlichkeit, zweimal eine rote Kugel zu ziehen: \(\frac{3}{10} \times \frac{3}{10} = \frac{9}{100}\) - Wahrscheinlichkeit, zweimal eine blaue Kugel zu ziehen: \(\frac{7}{10} \times \frac{7}{10} = \frac{49}{100}\) - Wahrscheinlichkeit, zuerst eine rote und dann eine blaue Kugel zu ziehen: \(\frac{3}{10} \times \frac{7}{10} = \frac{21}{100}\) - Wahrscheinlichkeit, zuerst eine blaue und dann eine rote Kugel zu ziehen: \(\frac{7}{10} \times \frac{3}{10} = \frac{21}{100}\) Diese Wahrscheinlichkeiten decken alle möglichen Ergebnisse der zwei Ziehungen ab.