Leite die Varianz der Fischer Transformation her ohne große Stichproben zu verwenden.

Die Fisher-Transformation wird verwendet, um die Korrelation zwischen zwei Variablen zu stabilisieren, insbesondere wenn die Korrelation nahe bei ±1 liegt. Die Transformation ist definiert als:

\[
z = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1 + r}{1 - r}\right)
\]

wobei \( r \) die Pearson-Korrelation ist.

Um die Varianz der Fisher-Transformation abzuleiten, gehen wir von der Annahme aus, dass \( r \) die Korrelation zwischen zwei normalverteilten Variablen ist. Die Fisher-Transformation hat die Eigenschaft, dass sie die Verteilung von \( r \) in eine annähernd normale Verteilung von \( z \) umwandelt, insbesondere für große Stichproben.

1. **Ableitung der Fisher-Transformation**:
Beginnen wir mit der Ableitung von \( z \) nach \( r \):

\[
\frac{dz}{dr} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + r} \cdot \frac{d(1 + r)}{dr} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - r} \cdot \frac{d(1 - r)}{dr}
\]

Dies vereinfacht sich zu:

\[
\frac{dz}{dr} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 + r} + \frac{1}{1 - r} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1 - r + 1 + r}{(1 + r)(1 - r)} \right) = \frac{1}{(1 - r^2)}
\]

2 **Varianz von \( z \)**:
Um die Varianz von \( z \) zu bestimmen, verwenden wir die Delta-Methode, die besagt, dass die Varianz einer Funktion \( g(X) \) für eine Zufallsvariable \( X \) approximiert werden kann durch:

\[
\text{Var}(g(X)) \approx \left( \frac{dg}{dX} \bigg|_{X = \mu} \right)^2 \text{Var}(X)
\]

In diesem Fall ist \( g(r) = z \) und \( X = r \). Wir setzen \( \mu \) als den wahren Wert der Korrelation an.

Die Varianz von \( r \) (unter der Annahme, dass \( r \) die Korrelation in einer Stichprobe ist) kann durch die Formel für die Varianz der Korrelation in einer Stichprobe abgeleitet werden, die in der Regel als \( \text{Var}(r) = \frac{1 - r^2}{n - 1} \) gegeben ist, wobei \( n \) die Stichprobengröße ist.

3. **Einsetzen in die Delta-Methode**:
Setzen wir die Ableitung und die Varianz von \( r \) in die Delta-Methode ein:

\[
\text{Var}(z) \approx \left( \frac{1}{1 - r^2} \right)^2 \cdot \text{Var}(r) = \left( \frac{1}{1 - r^2} \right)^2 \cdot \frac{1 - r^2}{n - 1}
\]

Dies vereinfacht sich zu:

\[
\text{Var}(z) \approx \frac{1}{(n - 1)(1 - r^2)}
\]

Somit ergibt sich die Varianz der Fisher-Transformation als:

\[
\text{Var}(z) \approx \frac{1}{(n - 1)(1 - r^2)}
\]

Diese Herleitung zeigt, dass die Varianz der Fisher-Transformation von der Stichprobengröße und der wahren Korrelation abhängt.