Was ist der Unterschied zwischen einer Normalverteilung und einer t-Verteilung?

Die Normalverteilung und die t-Verteilung sind beide wichtige Konzepte in der Statistik, aber sie haben einige wesentliche Unterschiede:

1. **Form der Verteilung**:
- **Normalverteilung**: Sie ist glockenförmig und symmetrisch um den Mittelwert. Sie wird durch zwei Parameter definiert: den Mittelwert (μ) und die Standardabweichung (σ).
- **t-Verteilung**: Sie ist ebenfalls glockenförmig und symmetrisch, aber sie hat schwerere Tails (d.h., sie hat mehr Werte in den Extremen). Die Form der t-Verteilung hängt von den Freiheitsgraden (degrees of freedom, df) ab.

2. **Parameter**:
- **Normalverteilung**: Definiert durch den Mittelwert (μ) und die Standardabweichung (σ).
- **t-Verteilung**: Definiert durch die Freiheitsgrade (df). Je mehr Freiheitsgrade, desto näher kommt die t-Verteilung der Normalverteilung.

3. **Anwendung**:
- **Normalverteilung**: Wird oft verwendet, wenn die Stichprobengröße groß ist (n > 30) oder wenn die Populationsstandardabweichung bekannt ist.
- **t-Verteilung**: Wird verwendet, wenn die Stichprobengröße klein ist (n ≤ 30) und die Populationsstandardabweichung unbekannt ist. Sie wird häufig in Hypothesentests und Konfidenzintervallen verwendet, wenn die Stichprobe klein ist.

4. **Freiheitsgrade**:
- **Normalverteilung**: Hat keine Freiheitsgrade.
- **t-Verteilung**: Die Anzahl der Freiheitsgrade ist gleich der Stichprobengröße minus eins (df = n - 1).

Zusammengefasst: Die t-Verteilung ist eine Anpassung der Normalverteilung für kleinere Stichproben und unbekannte Populationsstandardabweichungen, wobei sie schwerere Tails hat, die die Unsicherheit bei kleineren Stichproben berücksichtigen.