Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau ein Ass gezogen wird, wenn man zehn Karten aus einem Skatspiel mit 32 Karten nimmt?

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass genau ein Ass aus einem Skatspiel mit 32 Karten gezogen wird, wenn man zehn Karten nimmt, kannst du die hypergeometrische Verteilung verwenden.

In einem Skatspiel gibt es 4 Asse und 28 andere Karten. Die Wahrscheinlichkeit \( P(X = k) \) für genau \( k \) Erfolge (in diesem Fall das Ziehen eines Asses) in einer Stichprobe ohne Zurücklegen wird durch die Formel gegeben:

\[
P(X = k) = \frac{{\binom{K}{k} \cdot \binom{N-K}{n-k}}}{{\binom{N}{n}}}
\]

Dabei ist:
- \( N \) die Gesamtzahl der Karten (32),
- \( K \) die Anzahl der Asse (4),
- \( n \) die Anzahl der gezogenen Karten (10),
- \( k \) die Anzahl der gezogenen Asse (1).

Setzen wir die Werte ein:

- \( N = 32 \)
- \( K = 4 \)
- \( n = 10 \)
- \( k = 1 \)

Die Berechnung sieht dann so aus:

\[
P(X = 1) = \frac{{\binom{4}{1} \cdot \binom{28}{9}}}{{\binom{32}{10}}}
\]

Jetzt berechnen wir die einzelnen Binomialkoeffizienten:

1. \( \binom{4}{1} = 4 \)
2. \( \binom{28}{9} = \frac{28!}{9!(28-9)!} = \frac{28!}{9!19!} \)
3. \( \binom{32}{10} = \frac{32!}{10!(32-10)!} = \frac{32!}{10!22!} \)

Setze die Werte in die Formel ein und berechne die Wahrscheinlichkeit.

Die genaue Berechnung der Binomialkoeffizienten kann mit einem Taschenrechner oder einer Software erfolgen, die große Zahlen handhaben kann.

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau ein Ass gezogen wird, ergibt sich dann aus der Berechnung.