Wie schnell rollt eine Kugel (r=0,1 m, m=32,882 kg) eine schiefe Ebene (1 m lang, 0,7 m hoch) herunter?

Um die Geschwindigkeit der Kugel am Fuß der schiefen Ebene zu berechnen, können wir die Energieerhaltung nutzen. Die potenzielle Energie, die die Kugel an der Spitze der schiefen Ebene hat, wird in kinetische Energie umgewandelt, wenn sie die Ebene hinunterrollt.

1. **Berechnung der potenziellen Energie (PE)**:
\[
PE = m \cdot g \cdot h
\]
wobei:
- \( m = 32,882 \, \text{kg} \) (Masse der Kugel)
- \( g = 9,81 \, \text{m/s}^2 \) (Erdbeschleunigung)
- \( h = 0,7 \, \text{m} \) (Höhe der schiefen Ebene)

\[
PE = 32,882 \cdot 9,81 \cdot 0,7 \approx 226,4 \, \text{J}
\]

2. **Berechnung der kinetischen Energie (KE)**:
Die gesamte Energie wird in kinetische Energie umgewandelt, wenn die Kugel die Ebene hinunterrollt. Die kinetische Energie einer rollenden Kugel setzt sich aus der translationalen und der rotationalen Energie zusammen:
\[
KE = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2
\]
Für eine Kugel ist das Trägheitsmoment \( I = \frac{2}{5} m r^2 \) und \( \omega = \frac{v}{r} \).

Setzen wir \( I \) in die Gleichung ein:
\[
KE = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} \left(\frac{2}{5} m r^2\right) \left(\frac{v}{r}\right)^2
\]
\[
KE = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{5} m v^2 = \frac{7}{10} m v^2
\]

3. **Energieerhaltung**:
Setze die potenzielle Energie gleich der kinetischen Energie:
\[
m \cdot g \cdot h = \frac{7}{10} m v^2
\]
Die Masse \( m \) kürzt sich heraus:
\[
g \cdot h = \frac{7}{10} v^2
\]
\[
v^2 = \frac{10}{7} g \cdot h
\]
\[
v = \sqrt{\frac{10}{7} g \cdot h}
\]

4. **Einsetzen der Werte**:
\[
v = \sqrt{\frac{10}{7} \cdot 9,81 \cdot 0,7}
\]
\[
v \approx \sqrt{\frac{10}{7} \cdot 6,867} \approx \sqrt{9,81} \approx 3,13 \, \text{m/s}
\]

Die Geschwindigkeit der Kugel am Fuß der schiefen Ebene beträgt also ungefähr **3,13 m/s**.