Wie entsteht aus zwei Superpositionen die gemeinsame Superposition u*|0>+v*|1>+w*|2>+x*|3> ohne Tensorprodukt?

**Die Schreibweise `u*|0> + v*|1> + w*|2> + x*|3>` entsteht nicht dadurch, dass zwei einzelne Qubits „ineinander übergehen“, sondern weil das gemeinsame System aus zwei Qubits vier Basiszustände hat: `|00>`, `|01>`, `|10>`, `|11>`, die man nur kürzer als `|0>`, `|1>`, `|2>`, `|3>` nummeriert.** Dein Ansatz enthält schon die zentrale Stelle, an der oft Verwirrung entsteht: Ein einzelnes Qubit hat nur zwei Basiszustände, also `|0>` und `|1>`. Ein Ausdruck wie `c*|2> + d*|3>` ist deshalb **kein einzelnes Qubit mehr**, sondern bereits eine andere Bezeichnung für Zustände eines **Zwei-Qubit-Systems** oder allgemein eines 4-dimensionalen Systems. ## Was wirklich kombiniert wird Wenn Qubit A in `a*|0> + b*|1>` ist und Qubit B in `c*|0> + d*|1>` dann betrachtet man das **gemeinsame System**. Ohne Tensor-Schreibweise kann man das so lesen: - A ist 0 und B ist 0 → Amplitude `a*c` - A ist 0 und B ist 1 → Amplitude `a*d` - A ist 1 und B ist 0 → Amplitude `b*c` - A ist 1 und B ist 1 → Amplitude `b*d` Daraus entsteht der Gesamtzustand `a*c*|00> + a*d*|01> + b*c*|10> + b*d*|11>` Jetzt kann man nur die Basiszustände umbenennen: - `|00>` = `|0>` - `|01>` = `|1>` - `|10>` = `|2>` - `|11>` = `|3>` Dann wird daraus `u*|0> + v*|1> + w*|2> + x*|3>` mit - `u = a*c` - `v = a*d` - `w = b*c` - `x = b*d` ## Der entscheidende Punkt Die vier Koeffizienten entstehen also aus den **vier möglichen Kombinationen** der beiden Einzelzustände. Aus 2 Möglichkeiten beim ersten Qubit und 2 Möglichkeiten beim zweiten Qubit werden 4 gemeinsame Möglichkeiten: - 0/0 - 0/1 - 1/0 - 1/1 Genau deshalb hat das Gesamtsystem vier Amplituden. ## Warum deine Schreibweise mit `|2>` und `|3>` problematisch ist Wenn du schreibst: `Qubit B hat Superposition c*|2> + d*|3>` dann ist das physikalisch unsauber, weil ein **Qubit** nicht die Basiszustände `|2>` und `|3>` hat. Ein Qubit lebt in einem 2-dimensionalen Raum mit genau zwei Basiszuständen. Richtig wäre entweder: `Qubit B = c*|0> + d*|1>` oder, wenn du schon die gemeinsame 4er-Nummerierung meinst, dann sprichst du **nicht mehr von einem einzelnen Qubit**, sondern vom Gesamtzustand eines 4-dimensionalen Systems. ## Wichtige Ausnahme Die Form `u*|0> + v*|1> + w*|2> + x*|3>` ist die **allgemeine** Form eines Zwei-Qubit-Zustands. Aber nicht jeder solche Zustand lässt sich in `(a*|0> + b*|1>)` und `(c*|0> + d*|1>)` zerlegen. Denn bei Produktzuständen gilt zwingend: `u = a*c, v = a*d, w = b*c, x = b*d` und daraus folgt die Bedingung `u*x = v*w` Wenn diese Gleichung nicht gilt, ist der Zustand **verschränkt** und kommt gerade **nicht** aus zwei unabhängigen Einzel-Superpositionen zustande. ## Kurz gesagt **Die 4er-Superposition entsteht aus den vier möglichen gemeinsamen Belegungen zweier Qubits; die Koeffizienten sind bei einem nicht-verschränkten Zustand einfach die Produkte der Einzelamplituden. `|0>`, `|1>`, `|2>`, `|3>` sind dabei nur eine Umbenennung von `|00>`, `|01>`, `|10>`, `|11>`.**