Die Herleitung der Hertz'schen Druckverteilung erfolgt im Rahmen der Kontaktmechanik und beschreibt die Verteilung des Drucks in einem elastischen Kontakt zwischen zwei Körpern. Hier ist eine vereinfachte Übersicht der Schritte zur Herleitung: 1. **Grundannahmen**: - Zwei elastische Körper mit gekrümmten Oberflächen kommen in Kontakt. - Die Kontaktfläche ist klein im Vergleich zu den Abmessungen der Körper. - Die Verformungen sind elastisch und folgen dem Hooke'schen Gesetz. 2. **Geometrie des Kontakts**: - Die Kontaktfläche wird als elliptisch angenommen. - Die Halbachsen der Ellipse sind \(a\) und \(b\). 3. **Kontaktkräfte und Druckverteilung**: - Der Druck \(p(x, y)\) in der Kontaktfläche wird als Funktion der Koordinaten \(x\) und \(y\) beschrieben. - Hertz nahm an, dass der Druck in der Kontaktfläche eine parabolische Verteilung hat: \[ p(x, y) = p_0 \left(1 - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}\right) \] wobei \(p_0\) der maximale Druck in der Mitte der Kontaktfläche ist. 4. **Maximaler Druck und Kontaktfläche**: - Der maximale Druck \(p_0\) und die Dimensionen der Kontaktellipse \(a\) und \(b\) hängen von den Materialeigenschaften (Elastizitätsmodul \(E\) und Poissonzahl \(\nu\)) und den Krümmungsradien der Oberflächen ab. 5. **Gleichgewicht der Kräfte**: - Die gesamte Normalkraft \(F\), die auf die Kontaktfläche wirkt, muss gleich der Integration des Drucks über die Kontaktfläche sein: \[ F = \int_{-a}^{a} \int_{-b}^{b} p(x, y) \, dx \, dy \] - Durch Einsetzen der Druckverteilung und Integration ergibt sich: \[ F = \frac{2}{3} \pi a b p_0 \] 6. **Material- und Geometrieabhängigkeit**: - Die Halbachsen \(a\) und \(b\) der Kontaktellipse können durch die Krümmungsradien \(R_1\) und \(R_2\) der beiden Körper und deren Materialeigenschaften bestimmt werden. 7. **Zusammenfassung der Ergebnisse**: - Die resultierende Druckverteilung und die Dimensionen der Kontaktfläche sind Funktionen der Normalkraft, der Krümmungsradien und der Materialeigenschaften. Für eine detaillierte mathematische Herleitung und die genauen Formeln empfiehlt es sich, ein Lehrbuch zur Kontaktmechanik oder Elastizitätstheorie zu konsultieren, wie z.B. "Contact Mechanics" von K.L. Johnson.