Herleitung der Gleichung dE/dz ≈ (e ND)/(ε0 εr)?

Die Gleichung \( \frac{dE}{dz} \approx \frac{e N_D}{\varepsilon_0 \varepsilon_r} \) beschreibt die Beziehung zwischen dem elektrischen Feld \( E \) und der Dopingkonzentration \( N_D \) in einem Halbleitermaterial. Hier ist eine kurze Herleitung:

1. **Gauss'sches Gesetz**: Beginne mit dem Gauss'schen Gesetz, das besagt, dass der Fluss des elektrischen Feldes durch eine geschlossene Fläche proportional zur eingeschlossenen Ladung ist:
\[
\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}
\]

2. **Ladungsdichte**: In einem Halbleiter mit einer Dopingkonzentration \( N_D \) (Anzahl der Donatoren pro Volumeneinheit) ist die Ladungsdichte \( \rho \) gegeben durch:
\[
\rho = e N_D
\]
wobei \( e \) die Elementarladung ist.

3. **Differentialform des Gauss'schen Gesetzes**: In Differentialform lautet das Gauss'sche Gesetz:
\[
\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}
\]

4. **Ein-dimensionaler Fall**: Für einen ein-dimensionalen Fall (z.B. entlang der z-Achse) vereinfacht sich dies zu:
\[
\frac{dE}{dz} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} = \frac{e N_D}{\varepsilon_0}
\]

5. **Einbeziehung der relativen Permittivität**: Wenn das Material eine relative Permittivität \( \varepsilon_r \) hat, wird die Gleichung zu:
\[
\frac{dE}{dz} = \frac{e N_D}{\varepsilon_0 \varepsilon_r}
\]

Somit ergibt sich die gesuchte Beziehung:
\[
\frac{dE}{dz} \approx \frac{e N_D}{\varepsilon_0 \varepsilon_r}
\]

Diese Gleichung zeigt, wie das elektrische Feld in einem Halbleiter durch die Dopingkonzentration und die Materialeigenschaften beeinflusst wird.