Wie groß sind Radius, Höhe und Volumen eines Zylinders mit einer Mantelfläche von 0,4 Quadratmetern und einer Oberfläche von 1,6 Quadratmetern?

Um die gesuchten Werte für den Zylinder zu berechnen, nutzen die Formeln für die Mantelfläche, die Oberfläche und das Volumen eines Zylinders.

1. **Mantelfläche (M)**:
\[
M = 2 \pi r h
\]
Gegeben: \( M = 0,4 \, \text{m}^2)

2. **berfläche (O)**:
\[
O = 2 \pi r h + 2 \pi r^2
\]
Gegeben: \( O = 1,6 \, \text{m}^2 \)

3. **Volumen (V)**:
\[
V = \pi r^2 h
\]

Jetzt setzen wir die gegebene Mantelfläche in die Gleichung für die Oberfläche ein.

### Schritt 1: Höhe in Abhängigkeit vom Radius ausdrücken

Aus der Mantelflächenformel:
\[
h = \frac{M}{2 \pi r} = \frac{0,4}{2 \pi r} = \frac{0,2}{\pi r}
\]

### Schritt 2: Höhe in die Oberflächenformel einsetzen

Setze \( h \) in die Oberflächenformel ein:
\[
1,6 = 2 \pi r \left(\frac{0,2}{\pi r}\right) + 2 \pi r^2
\]
\[
1,6 = 0,4 + 2 \pi r^2
\]
\[
1,6 - 0,4 = 2 \pi r^2
\]
\[
1,2 = 2pi r^
\]
\[
r^2 = \frac{1,2}{2 \pi} = \frac{0,6}{\pi}
\]
\[
r = \sqrt{\frac{0,6}{\pi}} \approx 0,436 \, \text{m}
\]

### Schritt 3: Höhe berechnen

Setze \( r \) in die Gleichung für \( h \) ein:
\[
h = \frac{0,2}{\pi \cdot 0,436} \approx 0,145 \, \text{m}
\]

### Schritt 4: Volumen berechnen

Setze \( r \) und \( h \) in die Volumenformel ein:
\[
V = \pi (0,436)^2 (0,145) \approx 0,198 \, \text{m}^3
\]

### Zusammenfassung der Ergebnisse

- **Radius (r)**: ca. 0,436 m
- **Höhe (h)**: ca. 0,145 m
- **Volumen (V)**: ca. 0,198 m³