Das geometrische Mittel berechnest du, indem du alle Zahlen miteinander multiplizierst und danach die n-te Wurzel aus dem Produkt ziehst; bei \(n\) Zahlen also \((x1 \cdot x2 \cdot \dots \cdot xn)^{1/...
Zeige, dass aus fünf natürlichen Zahlen zwei ausgewählt werden können, deren Differenz durch 4 teilbar ist.
Antwort vomUm zu zeigen, dass sich aus fünf natürlichen Zahlen stets zwei Zahlen auswählen lassen, deren Differenz durch 4 teilbar ist, können wir den Satz der Reste verwenden. Jede natürliche Zahl kann beim Teilen durch 4 einen der folgenden Reste annehmen: , 1, 2 oder 3. Das bedeutet, dass es insgesamt 4 verschiedene Klassen von Resten gibt. Wenn wir nun fünf natürliche Zahlen betrachten, müssen diese Zahlen in eine der vier Restklassen fallen. Nach dem Schubfachprinzip (Pigeonhole Principle) bedeutet dies, dass mindestens zwei dieser fünf Zahlen in derselben Restklasse liegen müssen. Sei \( a \) und \( b \) zwei dieser Zahlen, die denselben Rest \( r \) (0, 1, 2 oder 3) haben, wenn sie durch 4 geteilt werden. Dann gilt: \[ a \equiv r \mod 4 \] \[ b \equiv r \mod 4 \] Die Differenz \( a - b \) kann dann wie folgt geschrieben werden: \[ a - b \equiv r - r \equiv 0 \mod 4 \] Das bedeutet, dass die Differenz \( a - b \) durch 4 teilbar ist. Somit haben wir gezeigt, dass aus fünf natürlichen Zahlen stets zwei Zahlen ausgewählt werden können, deren Differenz durch 4 teilbar ist.
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