Zerlege 324 in zwei Faktoren mit einer Differenz von 15.

Um 324 in zwei Faktoren zu zerlegen, deren Differenz 15 beträgt, können wir die Faktoren als \( x \) und \( y \) bezeichnen, wobei \( x - y = 15 \) und \( x \cdot y = 324 \). 1. Setze \( x = y + 15 \) in die Gleichung für das Produkt ein: \[ (y + 15) \cdot y = 324 \] \[ y^2 + 15y - 324 = 0 \] 2. Löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Hier ist \( a = 1 \), \( b = 15 \), und \( c = -324 \): \[ y = \frac{-15 \pm \sqrt{15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-324)}}{2 \cdot 1} \] \[ y = \frac{-15 \pm \sqrt{225 + 1296}}{2} \] \[ y = \frac{-15 \pm \sqrt{1521}}{2} \] \[ y = \frac{-15 \pm 39}{2} \] 3. Berechne die beiden möglichen Werte für \( y \): \[ y_1 = \frac{24}{2} = 12 \quad \text{und} \quad y_2 = \frac{-54}{2} = -27 \] Da wir nur positive Faktoren betrachten, nehmen wir \( y = 12 \). Dann ist: \[ x = y + 15 = 12 + 15 = 27 \] Die beiden Faktoren sind also 27 und 12.