Gesucht sind Zahlen \(a,b,c,d\) mit: 1. \(a + c = d\) 2. \(a \cdot b = c\) 3. \(c - b = b\) 4. \(a \cdot 4 = d\) Lösung: Aus \(c - b = b\) folgt: \(c = 2b\) Aus \(a \cdot b = c\) folgt dan...
Beweise, dass aus fünf natürlichen Zahlen stets zwei ausgewählt werden können, deren Differenz durch vier teilbar ist.
Antwort vomUm zu zeigen, dass sich aus fünf natürlichen Zahlen stets zwei Zahlen auswählen lassen, deren Differenz durch vier teilbar ist, können wir den Satz der Reste verwenden. Jede natürliche Zahl kann beim Teilen durch 4 einen der folgenden Reste annehmen: 0, 1, 2 oder 3. Das bedeutet, dass es insgesamt vier mögliche Reste gibt. Wenn wir fünf natürliche Zahlen betrachten, müssen wir diese Zahlen in die vier möglichen Restklassen (Modulo 4) einordnen. Nach dem Schubfachprinzip (Pigeonhole Principle) gilt: Wenn wir mehr Objekte (in diesem Fall fünf Zahlen) als Fächer (in diesem Fall vier Restklassen) haben, muss mindestens ein Fach mehr als ein Objekt enthalten. Das bedeutet, dass mindestens zwei der fünf Zahlen denselben Rest haben müssen, wenn sie durch 4 geteilt werden. Wenn zwei Zahlen den gleichen Rest \( r \) haben, dann ist ihre Differenz: \[ a - b = (r + 4k_1) - (r + 4k_2) = 4(k_1 - k_2) \] für einige ganze Zahlen \( k_1 \) und \( k_2 \). Diese Differenz ist offensichtlich durch 4 teilbar. Somit haben wir gezeigt, dass aus fünf natürlichen Zahlen stets zwei Zahlen ausgewählt werden können, deren Differenz durch vier teilbar ist.
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