x^-4((5x^-1)-(3x^-2)) mit Potenzregel ableiten?

Um die Funktion \( f(x) = x^{-4} \left( 5x^{-1} - 3x^{-2} \right) \) abzuleiten, kannst du die Produktregel und die Potenzregel anwenden. Die Produktregel besagt, dass für zwei Funktionen \( u(x) \) und \( v(x) \) die Ableitung von \( u(x)v(x) \) gegeben ist durch:

\[ (u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \]

Hier ist \( u(x) = x^{-4} \) und \( v(x) = 5x^{-1} - 3x^{-2} \).

1. Bestimme die Ableitungen von \( u(x) \) und \( v(x) \):

\[ u(x) = x^{-4} \]
\[ u'(x) = -4x^{-5} \] (Potenzregel: \( \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \))

\[ v(x) = 5x^{-1} - 3x^{-2} \]
\[ v'(x) = -5x^{-2} + 6x^{-3} \] (Potenzregel: \( \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \))

2. Wende die Produktregel an:

\[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \]

Setze die gefundenen Ableitungen ein:

\[ f'(x) = (-4x^{-5})(5x^{-1} - 3x^{-2}) + (x^{-4})(-5x^{-2} + 6x^{-3}) \]

3. Vereinfache die Ausdrücke:

\[ f'(x) = -4x^{-5} \cdot 5x^{-1} + (-4x^{-5}) \cdot (-3x^{-2}) + x^{-4} \cdot (-5x^{-2}) + x^{-4} \cdot 6x^{-3} \]

\[ f'(x) = -20x^{-6} + 12x^{-7} - 5x^{-6} + 6x^{-7} \]

\[ f'(x) = (-20x^{-6} - 5x^{-6}) + (12x^{-7} + 6x^{-7}) \]

\[ f'(x) = -25x^{-6} + 18x^{-7} \]

Das ist die abgeleitete Funktion \( f'(x) \).