2 Fragen zu Potenzregel

Um die Funktion \( f(x) = x^{-4} \left( 5x^{-1} - 3x^{-2} \right) \) abzuleiten, kannst du die Produktregel und die Potenzregel anwenden. Die Produktregel besagt, dass für zwei Funktionen \( u(x) \) und \( v(x) \) die Ableitung von \( u(x)v(x) \) gegeben ist durch: \[ (u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \] Hier ist \( u(x) = x^{-4} \) und \( v(x) = 5x^{-1} - 3x^{-2} \). 1. Bestimme die Ableitungen von \( u(x) \) und \( v(x) \): \[ u(x) = x^{-4} \] \[ u'(x) = -4x^{-5} \] (Potenzregel: \( \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \)) \[ v(x) = 5x^{-1} - 3x^{-2} \] \[ v'(x) = -5x^{-2} + 6x^{-3} \] (Potenzregel: \( \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \)) 2. Wende die Produktregel an: \[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \] Setze die gefundenen Ableitungen ein: \[ f'(x) = (-4x^{-5})(5x^{-1} - 3x^{-2}) + (x^{-4})(-5x^{-2} + 6x^{-3}) \] 3. Vereinfache die Ausdrücke: \[ f'(x) = -4x^{-5} \cdot 5x^{-1} + (-4x^{-5}) \cdot (-3x^{-2}) + x^{-4} \cdot (-5x^{-2}) + x^{-4} \cdot 6x^{-3} \] \[ f'(x) = -20x^{-6} + 12x^{-7} - 5x^{-6} + 6x^{-7} \] \[ f'(x) = (-20x^{-6} - 5x^{-6}) + (12x^{-7} + 6x^{-7}) \] \[ f'(x) = -25x^{-6} + 18x^{-7} \] Das ist die abgeleitete Funktion \( f'(x) \).

Um den Ausdruck \(\sqrt[3]{a} \cdot a^2\) zu vereinfachen, kannst du die Potenzgesetze anwenden. Der Ausdruck \(\sqrt[3]{a}\) kann als \(a^{1/3}\) geschrieben werden. Dann hast du: \[a^{1/3} \cdot a^2\] Wenn du Potenzen mit der gleichen Basis multiplizierst, addierst du die Exponenten: \[a^{1/3 + 2}\] Da \(2\) dasselbe ist wie \(6/3\), kannst du die Exponenten addieren: \[a^{1/3 + 6/3} = a^{7/3}\] Der vereinfachte Ausdruck ist also: \[a^{7/3}\]