Bestimme den Winkel φ zwischen v⃗ =(3–√1) und dem Standardeinheitsvektor e1.

Um den Winkel φ zwischen dem Vektor \(\vec{v} = (3 -sqrt{1})\) und dem Standardeinheitsvektor \(\vec{e_1} = (1, 0)\) zu bestimmen, verwenden wir die Formel für den Kosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren: \[ \cos(\phi) = \frac{\vec{v} \cdot \vec{e_1}}{|\vec{v}| |\vec{e_1}|} \] Zuerst berechnen wir den Vektor \(\vec{v}\): \[ \vec{v} = (3 - 1) = 2 \] Da \(\vec{v}\) nur eine Komponente hat, können wir ihn als \((2, 0)\) betrachten. Nun berechnen wir das Skalarprodukt \(\vec{v} \cdot \vec{e_1}\): \[ \vec{v} \cdot \vec{e_1} = (2, 0) \cdot (1, 0) = 2 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 2 \] Jetzt berechnen wir die Beträge der Vektoren: \[ |\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2 \] \[ |\vec{e_1}| = \sqrt{1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = \] Setzen wir nun alles in die Kosinus-Formel ein: \[ \cos(\phi) = \frac{2}{2 \cdot 1} = 1 \] Der Winkel φ ist dann: \[ \phi = \cos^{-1}(1) = 0^\circ \] Der Winkel φ zwischen dem Vektor \(\vec{v}\) und dem Standardeinheitsvektor \(\vec{e_1}\) beträgt also \(0^\circ\).