Welchen Vektor entfernen, damit der Rest von ((1,1,1)), ((1,0,1)), ((2,1,1)), ((1,2,2)) linear unabhängig wird?

Um zu bestimmen, welchen Vektor man entfernen müsste, damit der Rest linear unabhängig wird, kann man die lineare Abhängigkeit der Vektoren überprüfen. Dazu kann man die Vektoren in eine Matrix eintragen und die Determinante berechnen oder das Gleichungssystem lösen.

Die Vektoren sind:
\[ \mathbf{v}_1 = (1, 1, 1) \]
\[ \mathbf{v}_2 = (1, 0, 1) \]
\[ \mathbf{v}_3 = (2, 1, 1) \]
\[ \mathbf{v}_4 = (1, 2, 2) \]

Man bildet die Matrix mit diesen Vektoren als Spalten:
\[ A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 1 & 2
\end{pmatrix} \]

Nun überprüft man die Determinanten der 3x3-Untermatrizen, die entstehen, wenn man jeweils einen Vektor weglässt.

1. Entferne \(\mathbf{v}_1\):
\[ A_1 = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 2
\end{pmatrix} \]
Die Determinante von \(A_1\) ist:
\[ \text{det}(A_1) = 1 \cdot (1 \cdot 2 - 2 \cdot 1) - 2 \cdot (0 \cdot 2 - 2 \cdot 1) + 1 \cdot (0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = 1 \cdot 0 - 2 \cdot (-2) + 1 \cdot (-1) = 0 + 4 - 1 = 3 \]

2. Entferne \(\mathbf{v}_2\):
\[ A_2 = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 2
\end{pmatrix} \]
Die Determinante von \(A_2\) ist:
\[ \text{det}(A_2) = 1 \cdot (1 \cdot 2 - 2 \cdot 1) - 2 \cdot (1 \cdot 2 - 2 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = 1 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 0 \]

3. Entferne \(\mathbf{v}_3\):
\[ A_3 = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 2 \\
1 & 1 & 2
\end{pmatrix} \]
Die Determinante von \(A_3\) ist:
\[ \text{det}(A_3) = 1 \cdot (0 \cdot 2 - 2 \cdot 1) - 1 \cdot (1 \cdot 2 - 2 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = 1 \cdot (-2) - 1 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) = -2 - 0 - 1 = -3 \]

4. Entferne \(\mathbf{v}_4\):
\[ A_4 = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix} \]
Die Determinante von \(A_4\) ist:
\[ \text{det}(A_4) = 1 \cdot (0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - 1 \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + 2 \cdot (1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = 1 \cdot (-1) - 1 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) = -1 - 0 - 2 = -3 \]

Die Determinanten zeigen, dass die Untermatrizen \(A_1\), \(A_3\) und \(A