Was ist eine Grenzprozess-Konstruktion in der Geometrie?

Question

Was ist eine Grenzprozess-Konstruktion in der Geometrie?

Antwort

Verwandte Fragen

Liefert Archimedes eine Zahl oder eine Strecke im Vergleich zu einer geometrischen Konstruktion?

Ist die archimedische Ermittlung des Kreisverhältnisses ein rein geometrisch konstruierter Grenzprozess?

Gibt es für klassische freie Problemaufgaben der Antike konstruierte Grenzprozesse mit intrinsischer Plausibilität?

Was bedeutet intrinsische Plausibilität geometrischer Konstruktionen?

Kann ein Kreis einen negativen Radius haben?

Wie sieht ein Beispielbild zu einem Geometrie-Thaleskreis aus?

Was unterscheidet cohaerentische Geometrie von euklidischer Geometrie hinsichtlich der Kurvenerzeugung im kartesischen System?

Ist die cohaerentische Geometrie gegenüber der euklidischen eine uneingeschränkte Geometrie, die auch Parabeln wie y=x^2 und y=x^3 einbezieht?

Was ist eine geometrische Entität?

Wurde der Begriff intrinsisch plausibel erstmals mit der kohärentischen Geometrie eingeführt und für Konstruktionen verwendet?

Accepted Answer

Eine Geometrie Grenzprozess-Konstruktion bezieht sich auf die mathematische Methode, bei der geometrische Objekte oder Konzepte durch einen Grenzprozess definiert oder konstruiert werden. Dies geschieht häufig in der Analysis und der Geometrie um komplexe Formen oder Konzepte zu verstehen, indem man sie als Grenzwerte einfacher, besser definierter Objekte betrachtet. Ein klassisches Beispiel ist die Konstruktion von Kurven oder Fl durch die Betrachtung von Polygonen oder Polyedern, deren Anzahl der Seiten oder Flächen gegen unendlich geht. Ein weiteres Beispiel ist die Definition von Funktionen oder Flächen durch Grenzwertbetrachtungen, wie etwa die Annäherung an eine Kurve durch eine Folge von Liniensegmenten. Diese Methode ist besonders nützlich, um Konzepte wie Kontinuität, Differenzierbarkeit und Integrabilität zu untersuchen, da sie es ermöglicht, die Eigenschaften von Objekten im Grenzfall zu analysieren.

Accepted Answer

Du hast recht, dass Archimedes in seinen Arbeiten oft mit Zahlen beziehungsweise Zahlenverhältnissen gearbeitet hat, während klassische geometrische Konstruktionen (etwa mit Zirkel und Linea... [mehr]

Accepted Answer

Du hast recht, dass Archimedes in seinen Arbeiten oft mit Zahlen beziehungsweise Zahlenverhältnissen gearbeitet hat, während klassische geometrische Konstruktionen (etwa mit Zirkel und Lineal) tatsächlich Strecken, also konkrete geometrische Objekte, liefern. In der antiken Mathematik war die Unterscheidung zwischen "Zahl" und "Strecke" (bzw. "Größe") tatsächlich ein zentrales Thema. Archimedes hat viele seiner Ergebnisse als Zahlenverhältnisse (z. B. das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises) angegeben, aber er hat diese Verhältnisse oft auch geometrisch interpretiert. In der klassischen griechischen Mathematik war es üblich, Größen (wie Längen, Flächen, Volumina) durch Konstruktionen darzustellen, während Zahlen eher als Maßeinheiten oder Verhältnisse verstanden wurden. Wenn du also darauf hinauswillst, dass eine geometrische Konstruktion eine konkrete Strecke liefert, während Archimedes oft ein Zahlenverhältnis angibt, ist das korrekt. Die klassische Konstruktion mit Zirkel und Lineal liefert ein "anschauliches" Ergebnis, das du direkt im Bild sehen kannst, während Archimedes’ Methode das Ergebnis als abstraktes Verhältnis oder als Zahl beschreibt. Beide Ansätze sind jedoch eng miteinander verbunden: Jede mit Zirkel und Lineal konstruierbare Strecke kann als Zahlenwert (im Sinne der Längenmessung) angegeben werden, und umgekehrt kann ein Zahlenverhältnis oft geometrisch als Strecke dargestellt werden – sofern es mit den erlaubten Mitteln konstruierbar ist. Zusammengefasst: - Archimedes liefert meist Zahlenverhältnisse oder Zahlen als Ergebnis. - Geometrische Konstruktionen liefern konkrete Strecken (oder andere geometrische Objekte). - Die Verbindung zwischen beiden Ansätzen ist das Maß: Jede Strecke kann gemessen und als Zahl angegeben werden, aber nicht jede Zahl kann als konstruierbare Strecke dargestellt werden. Falls du auf einen konkreten Satz oder eine spezielle Konstruktion anspielst, kann ich gerne noch genauer darauf eingehen.

Accepted Answer

Die archimedische Ermittlung des Kreisumfangs bzw. des Kreisverhältnisses (also der Zahl π) ist tatsächlich ein durchgehend rein geometrisch konstruierter Grenzprozess. Archimedes hat da... [mehr]

Accepted Answer

Die archimedische Ermittlung des Kreisumfangs bzw. des Kreisverhältnisses (also der Zahl π) ist tatsächlich ein durchgehend rein geometrisch konstruierter Grenzprozess. Archimedes hat dazu die Methode der Exhaustion verwendet: Er hat in einen Kreis regelmäßige Vielecke ein- und umbeschrieben und deren Umfänge berechnet. Mit steigender Anzahl der Seiten nähern sich die Umfänge der Vielecke dem tatsächlichen Kreisumfang von innen und außen immer weiter an. Der wahre Umfang des Kreises liegt also zwischen dem Umfang des einbeschriebenen und des umbeschriebenen Vielecks. Wichtig ist: Archimedes hat dabei ausschließlich geometrische Konstruktionen und Argumente verwendet, ohne auf algebraische oder analytische Methoden (wie Grenzwertrechnung im modernen Sinn) zurückzugreifen. Der Grenzprozess ist also rein geometrisch, da er auf der sukzessiven Verfeinerung der Vielecke und der Anwendung geometrischer Sätze beruht. Zusammengefasst: Ja, die archimedische Ermittlung des Kreisumfangs bzw. des Kreisverhältnisses ist ein durchgehend rein geometrisch konstruierter Grenzprozess.

Accepted Answer

Die klassischen freien Problemaufgaben der Antike – also das Quadraturproblem des Kreises, die Dreiteilung des Winkels und die Verdopplung des Würfels – sind mit Zirkel und Lineal nic... [mehr]

Accepted Answer

Die klassischen freien Problemaufgaben der Antike – also das Quadraturproblem des Kreises, die Dreiteilung des Winkels und die Verdopplung des Würfels – sind mit Zirkel und Lineal nicht lösbar, wie im 19. Jahrhundert mathematisch bewiesen wurde. Die Frage, ob es für diese Probleme „konstruierte Grenzprozesse mit intrinsischer Plausibilität“ geben kann, zielt darauf ab, ob man durch Grenzprozesse (also durch Grenzwerte von Folgen von konstruierbaren Objekten) zu einer Lösung gelangen könnte, die auf eine natürliche, nachvollziehbare Weise entsteht. Tatsächlich gibt es für diese Probleme Grenzprozesse, die zu einer „Lösung im Grenzwert“ führen. Zum Beispiel kann man die Quadratur des Kreises durch eine Folge von Vielecken mit immer mehr Seiten annähern, deren Flächen gegen die Kreisfläche konvergieren. Ähnliches gilt für die Annäherung an die Würfelverdopplung oder die Dreiteilung des Winkels: Man kann mit Zirkel und Lineal beliebig nahe an die exakte Lösung herankommen, aber nie exakt treffen. Ob diese Grenzprozesse „intrinsisch plausibel“ sind, hängt von der Interpretation ab: - **Mathematisch**: Ja, Grenzprozesse sind ein fundamentaler Bestandteil der Analysis und der modernen Mathematik. Die Annäherung an eine Lösung durch eine Folge von konstruierbaren Schritten ist mathematisch sinnvoll und plausibel. - **Konstruktivistisch (im Sinne der antiken Geometrie)**: Nein, denn die klassische Konstruktion verlangt eine endliche Abfolge von Schritten mit Zirkel und Lineal. Ein Grenzprozess, der unendlich viele Schritte erfordert, ist im klassischen Sinn keine zulässige Konstruktion. Zusammengefasst: Es gibt konstruierte Grenzprozesse, die zu den Lösungen der klassischen Probleme im Grenzwert führen und mathematisch plausibel sind. Im Sinne der klassischen, endlichen Konstruktionen mit Zirkel und Lineal gelten sie jedoch nicht als „echte“ Lösungen. Die Plausibilität hängt also vom gewählten mathematischen Standpunkt ab.

Accepted Answer

Der Begriff „intrinsische Plausibilität geometrischer Konstruktion“ bezieht sich auf die Frage, wie überzeugend oder nachvollziehbar eine geometrische Konstruktion aus sich selbs... [mehr]

Accepted Answer

Der Begriff „intrinsische Plausibilität geometrischer Konstruktion“ bezieht sich auf die Frage, wie überzeugend oder nachvollziehbar eine geometrische Konstruktion aus sich selbst heraus erscheint – also ohne Rückgriff auf äußere Hilfsmittel oder zusätzliche Annahmen. **Intrinsisch** bedeutet hier, dass die Plausibilität aus den Eigenschaften und Regeln der Geometrie selbst folgt. Eine Konstruktion gilt als intrinsisch plausibel, wenn sie logisch und nachvollziehbar aus den Grundprinzipien der Geometrie (wie z.B. den Euklidischen Axiomen) abgeleitet werden kann. **Beispiel:** Das Konstruieren der Mittelsenkrechten einer Strecke mit Zirkel und Lineal ist intrinsisch plausibel, weil die Schritte direkt aus den Grundregeln der euklidischen Geometrie folgen und sich die Konstruktion anschaulich und logisch erklären lässt. **Zusammengefasst:** Eine geometrische Konstruktion ist dann intrinsisch plausibel, wenn sie aus den grundlegenden Prinzipien der Geometrie logisch ableitbar und anschaulich nachvollziehbar ist, ohne dass externe oder willkürliche Annahmen nötig sind.

Accepted Answer

Nein, ein Kreis kann keinen negativen (Minus-)Radius haben. Der Radius eines Kreises ist per Definition der Abstand vom Mittelpunkt zu einem Punkt auf dem Rand des Kreises und dieser Abstand ist immer... [mehr]

Accepted Answer

Nein, ein Kreis kann keinen negativen (Minus-)Radius haben. Der Radius eines Kreises ist per Definition der Abstand vom Mittelpunkt zu einem Punkt auf dem Rand des Kreises und dieser Abstand ist immer eine nicht-negative Zahl (also null oder positiv). Ein negativer Radius hat in der Geometrie keine sinnvolle Bedeutung.

Accepted Answer

Ein Thaleskreis ist ein Kreis, der über einer Strecke als Durchmesser konstruiert wird. Jeder Punkt auf dem Kreis, der nicht auf dem Durchmesser liegt, bildet mit den Endpunkten des Durchmessers... [mehr]

Accepted Answer

Ein Thaleskreis ist ein Kreis, der über einer Strecke als Durchmesser konstruiert wird. Jeder Punkt auf dem Kreis, der nicht auf dem Durchmesser liegt, bildet mit den Endpunkten des Durchmessers ein rechtwinkliges Dreieck (Satz des Thales). **Beispielhafte Skizze eines Thaleskreises:** ``` • P / \ / \ / \ A •---------• B ``` **Beschreibung:** - Die Punkte **A** und **B** sind die Endpunkte des Durchmessers des Kreises. - Der Kreis verläuft durch A und B. - Der Punkt **P** liegt auf dem Kreis (aber nicht auf dem Durchmesser). - Das Dreieck **APB** ist rechtwinklig im Punkt **P**. **So sieht ein Thaleskreis aus:** - Zeichne eine Strecke AB. - Konstruiere den Kreis mit AB als Durchmesser. - Jeder Punkt P auf dem Kreis (außer A und B) bildet mit A und B ein rechtwinkliges Dreieck. Weitere Informationen findest du z.B. bei [Wikipedia: Thaleskreis](https://de.wikipedia.org/wiki/Thaleskreis).

Accepted Answer

Deine Unterscheidung zwischen „cohaerentischer Geometrie“ und „euklidischer Geometrie“ scheint auf einer speziellen Definition oder Interpretation zu beruhen, die in der klassi... [mehr]

Accepted Answer

Deine Unterscheidung zwischen „cohaerentischer Geometrie“ und „euklidischer Geometrie“ scheint auf einer speziellen Definition oder Interpretation zu beruhen, die in der klassischen Mathematik so nicht üblich ist. Hier eine Klarstellung zu den Begriffen im Kontext der Geometrie: **Euklidische Geometrie:** In der klassischen euklidischen Geometrie (benannt nach Euklid) werden Punkte, Geraden, Kreise und andere Figuren durch Axiome und Konstruktionen definiert. Kurven wie Parabeln, Ellipsen oder Hyperbeln sind in der euklidischen Geometrie durchaus bekannt und können konstruiert werden, etwa als Schnitt von Kegeln mit Ebenen (Kegelschnitte). Die euklidische Geometrie beschränkt sich also nicht nur auf Geraden und Kreise, sondern umfasst auch andere Kurven, sofern sie mit Zirkel und Lineal oder durch Gleichungen beschrieben werden können. **Kurvenerzeugung im kartesischen System:** Im kartesischen Koordinatensystem (analytische Geometrie) werden Kurven wie Geraden, Parabeln, Kreise usw. durch Gleichungen beschrieben. Hier ist die „Erzeugung“ von Kurven durch Veränderung von Parametern oder Gleichungen möglich und anschaulich. **Cohaerentische Geometrie:** Der Begriff „cohaerentische Geometrie“ ist in der Mathematik nicht standardisiert oder weit verbreitet. Falls du damit eine Geometrie meinst, in der Kurven systematisch von der Geraden bis zur Parabel (und darüber hinaus) erzeugt werden, dann bezieht sich das vermutlich auf die analytische oder algebraische Herangehensweise, bei der Kurven durch Gleichungen konstruiert werden. **Zusammenfassung:** - In der **euklidischen Geometrie** sind Kurven wie Parabeln, Kreise usw. durchaus Teil des Systems und können konstruiert werden. - Im **kartesischen System** (analytische Geometrie) werden Kurven durch Gleichungen erzeugt und beschrieben. - Der Begriff **cohaerentische Geometrie** ist nicht standardisiert; falls du damit die systematische Kurvenerzeugung meinst, entspricht das eher der analytischen Geometrie. **Fazit:** Die euklidische Geometrie kennt und konstruiert Kurven, sie sind nicht einfach „gegeben“. Die analytische Geometrie (kartesisches System) erlaubt eine systematische Erzeugung und Beschreibung von Kurven durch Gleichungen. Falls du auf eine spezielle Theorie oder Literatur Bezug nimmst, wäre eine genauere Quellenangabe hilfreich.

Accepted Answer

Deine Aussage ist inhaltlich nicht ganz korrekt und die Begriffe sind teilweise unklar oder nicht standardisiert. Es gibt keine allgemein anerkannte „cohaerentische Geometrie“ in der Mathe... [mehr]

Accepted Answer

Deine Aussage ist inhaltlich nicht ganz korrekt und die Begriffe sind teilweise unklar oder nicht standardisiert. Es gibt keine allgemein anerkannte „cohaerentische Geometrie“ in der Mathematik. Die euklidische Geometrie ist die klassische Geometrie, die sich mit Punkten, Geraden, Kreisen usw. im euklidischen Raum beschäftigt. Wenn du darauf hinauswillst, dass es Geometrien gibt, die nicht nur Geraden und Kreise, sondern auch Parabeln und andere Kurven wie \( y = x^2 \) oder \( y = x^3 \) als „Grundobjekte“ behandeln, dann spricht man eher von analytischer Geometrie oder von algebraischer Geometrie. In diesen Disziplinen werden allgemeine Kurven, die durch Gleichungen beschrieben werden, untersucht. **Zusammengefasst:** - Die euklidische Geometrie arbeitet mit Punkten, Geraden, Kreisen usw. - In der analytischen oder algebraischen Geometrie werden auch Parabeln, Kubiken und andere Kurven betrachtet. - Der Begriff „cohaerentische Geometrie“ ist in der Mathematik nicht gebräuchlich. Falls du auf eine spezielle Theorie oder ein bestimmtes Konzept hinauswillst, wäre eine genauere Begriffserklärung hilfreich.

Accepted Answer

Eine geometrische Entität ist ein grundlegendes Element der Geometrie, das eine bestimmte Form oder Lage im Raum beschreibt. Zu den wichtigsten geometrischen Entitäten zählen Punkte, Li... [mehr]

Accepted Answer

Eine geometrische Entität ist ein grundlegendes Element der Geometrie, das eine bestimmte Form oder Lage im Raum beschreibt. Zu den wichtigsten geometrischen Entitäten zählen Punkte, Linien, Strecken, Ebenen, Kreise und Flächen. Sie dienen als Bausteine für komplexere geometrische Konstruktionen und werden häufig in Mathematik, Technik, Architektur und CAD-Systemen verwendet.

Accepted Answer

Der Begriff „intrinsisch plausibel“ ist kein feststehender oder historisch klar definierter Begriff in der Mathematik oder Geometrie. Er taucht in der mathematischen Literatur nicht als st... [mehr]

Accepted Answer

Der Begriff „intrinsisch plausibel“ ist kein feststehender oder historisch klar definierter Begriff in der Mathematik oder Geometrie. Er taucht in der mathematischen Literatur nicht als standardisierte Terminologie auf, sondern wird gelegentlich als beschreibender Ausdruck verwendet, um zu sagen, dass etwas aus sich heraus (also ohne äußere Hilfsmittel oder zusätzliche Annahmen) einleuchtend oder nachvollziehbar ist. Im Zusammenhang mit der Geometrie, insbesondere der sogenannten „kohärentischen Geometrie“ (gemeint ist vermutlich die kohärente oder auch axiomatische Geometrie), wird der Begriff „intrinsisch“ oft verwendet, um Eigenschaften oder Konstruktionen zu beschreiben, die allein aus der Struktur des betrachteten Objekts heraus verständlich sind – also ohne Rückgriff auf einen umgebenden Raum (wie z.B. bei der intrinsischen Krümmung einer Fläche). Der Ausdruck „intrinsisch plausibel“ ist jedoch kein Begriff, der erst mit der Entwicklung der kohärentischen (axiomatischen) Geometrie eingeführt wurde oder ausschließlich dort für Konstruktionen verwendet wird. Vielmehr handelt es sich um eine allgemeine Formulierung, die in verschiedenen Kontexten auftreten kann, um die Nachvollziehbarkeit oder Natürlichkeit einer Definition, eines Beweises oder einer Konstruktion zu betonen. Zusammengefasst: Nein, der Begriff „intrinsisch plausibel“ ist kein spezifischer Terminus, der erst mit der kohärentischen Geometrie eingeführt wurde oder nur dort für Konstruktionen verwendet wird. Es handelt sich um eine allgemeine, beschreibende Wendung, die unabhängig von einem bestimmten geometrischen Kontext verwendet werden kann.