Das **Newton-Raphson-Verfahren** (kurz **Newton-Verfahren**) ist ein **iteratives Näherungsverfahren**, um **Nullstellen** einer Funktion zu finden, also Lösungen von \( f(x)=0 \). **Idee:** Man startet mit einem Anfangswert \(x_0\). Dann ersetzt man die Funktion lokal durch ihre **Tangente** in \(x_n\) und nimmt den Schnittpunkt dieser Tangente mit der x‑Achse als besseren Näherungswert. **Iterationsformel:** \[ x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \] Voraussetzung dabei: \(f'(x_n)\neq 0\). **Eigenschaften (kurz):** - Bei „gutem“ Startwert und glatter Funktion konvergiert es oft **sehr schnell** (typisch **quadratisch**). - Es kann **scheitern** oder zu einer falschen Stelle laufen, wenn der Startwert schlecht ist, \(f'(x)\) nahe 0 ist oder die Funktion ungünstig verläuft. **Mini-Beispiel:** Nullstelle von \(f(x)=x^2-2\) (also \(\sqrt{2}\)). \(f'(x)=2x\). Start \(x_0=1\): \[ x_1=1-\frac{-1}{2}=1{,}5,\quad x_2=1{,}5-\frac{0{,}25}{3}=1{,}4167,\quad x_3\approx 1{,}4142 \] Das nähert sich schnell \(\sqrt{2}\approx 1{,}4142\).