Bestimme die Wahrscheinlichkeiten einer roten oder weißen Kugel aus einem Gefäß mit 14 roten, 7 weißen und 28 schwarzen Kugeln.

Question

Bestimme die Wahrscheinlichkeiten einer roten oder weißen Kugel aus einem Gefäß mit 14 roten, 7 weißen und 28 schwarzen Kugeln.

Antwort

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Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten die 8 Kreuz-Karten gezogen werden?

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, eine rote oder weiße Kugel aus dem Gef zu ziehen, musst du zunächst die Gesamtzahl der Kugeln und die Anzahl der gewünschten Ergebnisse ermitteln. 1. **Gesamtzahl der Kugeln**: - Rote Kugeln: 14 - Weiße Kugeln: 7 - Schwarze Kugeln: 28 Gesamtzahl der Kugeln = 14 + 7 + 28 = 49 2. **Anzahl der gewünschten Ergebnisse (rote oder weiße Kugeln)**: - Rote Kugeln: 14 - Weiße Kugeln: 7 Anzahl der roten oder weißen Kugeln = 14 + 7 = 21 3. **Wahrscheinlichkeit**: Die Wahrscheinlichkeit, eine rote oder weiße Kugel zu ziehen, berechnet sich wie folgt: \[ P(\text{rot oder weiß}) = \frac{\text{Anzahl der roten oder weißen Kugeln}}{\text{Gesamtzahl der Kugeln}} = \frac{21}{49} \] Dies kann weiter vereinfacht werden: \[ P(\text{rot oder weiß}) = \frac{21 \div 7}{49 \div 7} = \frac{3}{7} \] Die Wahrscheinlichkeit, eine rote oder weiße Kugel zu ziehen, beträgt also \(\frac{3}{7}\) oder etwa 0,4286 (42,86 %).

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten genau die 8 Kreuz-Karten gezogen werden, kannst du die folgende Formel verwenden: Die Gesamtanzahl der Möglichkei... [mehr]

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten genau die 8 Kreuz-Karten gezogen werden, kannst du die folgende Formel verwenden: Die Gesamtanzahl der Möglichkeiten, 8 Karten aus 32 zu ziehen, wird durch den Binomialkoeffizienten \(\binom{32}{8}\) dargestellt. Die Anzahl der Möglichkeiten, genau die 8 Kreuz-Karten zu ziehen, ist 1, da es nur eine Möglichkeit gibt, diese spezifischen Karten zu wählen. Die Wahrscheinlichkeit \(P\) ist also: \[ P = \frac{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}{\text{Anzahl der möglichen Fälle}} = \frac{1}{\binom{32}{8}} \] Nun berechnen wir \(\binom{32}{8}\): \[ \binom{32}{8} = \frac{32!}{8!(32-8)!} = \frac{32!}{8! \cdot 24!} \] Das ergibt: \[ \binom{32}{8} = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26 \times 25}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 105,622,176 \] Somit ist die Wahrscheinlichkeit: \[ P = \frac{1}{105,622,176} \approx 9.47 \times 10^{-9} \] Die Wahrscheinlichkeit, dass die 8 gezogenen Karten die 8 Kreuz-Karten sind, beträgt also etwa \(9.47 \times 10^{-9}\) oder 0.00000000947.