Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auswahl von vier Schülern nur Mädchen gewählt werden, wenn es 11 Jungen und 16 Mädchen in der Klasse gibt?

Question

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auswahl von vier Schülern nur Mädchen gewählt werden, wenn es 11 Jungen und 16 Mädchen in der Klasse gibt?

Antwort

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Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten die 8 Kreuz-Karten gezogen werden?

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass bei der zufälligen Auswahl von 4 Schülern aus einer Klasse mit 11 Jungen und 16 Mädchen nur Mädchen gewählt werden, kannst du die folgende Vorgehensweise nutzen: 1. **Gesamtzahl der Schüler**: Es gibt insgesamt \( 11 + 16 = 27 \) Schüler. 2. **Anzahl der Möglichkeiten, 4 Mädchen auszuwählen**: Die Anzahl der Möglichkeiten, 4 Mädchen aus 16 auszuwählen, wird durch den Binomialkoeffizienten \( \binom{n}{k} \) dargestellt, wobei \( n \) die Gesamtzahl der Mädchen und \( k \) die Anzahl der auszuwählenden Mädchen ist. Das ergibt: \[ \binom{16}{4} = \frac{16!}{4!(16-4)!} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1820 \] 3. **Anzahl der Möglichkeiten, 4 Schüler aus 27 auszuwählen**: Die Gesamtzahl der Möglichkeiten, 4 Schüler aus 27 auszuwählen, ist: \[ \binom{27}{4} = \frac{27!}{4!(27-4)!} = \frac{27 \times 26 \times 25 \times 24}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 17550 \] 4. **Wahrscheinlichkeit, dass nur Mädchen gewählt werden**: Die Wahrscheinlichkeit \( P \), dass nur Mädchen gewählt werden, ist das Verhältnis der Anzahl der Möglichkeiten, 4 Mädchen auszuwählen, zur Gesamtzahl der Möglichkeiten, 4 Schüler auszuwählen: \[ P = \frac{\binom{16}{4}}{\binom{27}{4}} = \frac{1820}{17550} \approx 0.103 \] Die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auswahl von 4 Schülern nur Mädchen gewählt werden, beträgt also etwa 0,103 oder 10,3 %.

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten genau die 8 Kreuz-Karten gezogen werden, kannst du die folgende Formel verwenden: Die Gesamtanzahl der Möglichkei... [mehr]

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten genau die 8 Kreuz-Karten gezogen werden, kannst du die folgende Formel verwenden: Die Gesamtanzahl der Möglichkeiten, 8 Karten aus 32 zu ziehen, wird durch den Binomialkoeffizienten \(\binom{32}{8}\) dargestellt. Die Anzahl der Möglichkeiten, genau die 8 Kreuz-Karten zu ziehen, ist 1, da es nur eine Möglichkeit gibt, diese spezifischen Karten zu wählen. Die Wahrscheinlichkeit \(P\) ist also: \[ P = \frac{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}{\text{Anzahl der möglichen Fälle}} = \frac{1}{\binom{32}{8}} \] Nun berechnen wir \(\binom{32}{8}\): \[ \binom{32}{8} = \frac{32!}{8!(32-8)!} = \frac{32!}{8! \cdot 24!} \] Das ergibt: \[ \binom{32}{8} = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26 \times 25}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 105,622,176 \] Somit ist die Wahrscheinlichkeit: \[ P = \frac{1}{105,622,176} \approx 9.47 \times 10^{-9} \] Die Wahrscheinlichkeit, dass die 8 gezogenen Karten die 8 Kreuz-Karten sind, beträgt also etwa \(9.47 \times 10^{-9}\) oder 0.00000000947.