Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, genau 8 Treffer zu haben, wenn aus 50 Zahlen 20 gezogen werden und 8 Zahlen angekreuzt werden?

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass du genau 8 Treffer hast, wenn aus 50 Zahlen 20 gezogen werden und du 8 Zahlen ankreuzt, kannst du die hypergeometrische Verteilung verwenden. Die Formel für die hypergeometrische Verteilung lautet:

\[
P(X = k) = \frac{{\binom{K}{k} \cdot \binom{N-K}{n-k}}}{{\binom{N}{n}}}
\]

Dabei ist:
- \(N\) die Gesamtzahl der Elemente (in diesem Fall 50),
- \(K\) die Anzahl der Erfolge in der Grundgesamtheit (in diesem Fall 20, da 20 Zahlen gezogen werden),
- \(n\) die Anzahl der gezogenen Elemente (in diesem Fall 8, da du 8 Zahlen ankreuzt),
- \(k\) die Anzahl der Erfolge, die du erzielen möchtest (in diesem Fall 8).

Setze die Werte in die Formel ein:

- \(N = 50\)
- \(K = 20\)
- \(n = 8\)
- \(k = 8\)

Die Berechnung wird dann wie folgt aussehen:

\[
P(X = 8) = \frac{{\binom{20}{8} \cdot \binom{30}{0}}}{{\binom{50}{8}}}
\]

Hierbei ist \(\binom{30}{0} = 1\), da es nur eine Möglichkeit gibt, 0 aus 30 zu wählen.

Berechne die Binomialkoeffizienten:

1. \(\binom{20}{8}\)
2. \(\binom{50}{8}\)

Setze die Werte in die Formel ein und berechne die Wahrscheinlichkeit.