Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei von 50 Personen am selben Tag Geburtstag haben?

Question

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei von 50 Personen am selben Tag Geburtstag haben?

Antwort

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Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten die 8 Kreuz-Karten gezogen werden?

Accepted Answer

Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Gruppe von 50 Personen mindestens zwei am selben Tag Geburtstag haben, wird oft als das "Geburtstagsparadoxon" bezeichnet. Um diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen, ist es einfacher, zunächst die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass alle 50 Personen an unterschiedlichen Tagen Geburtstag haben. Es gibt 365 Tage im Jahr (wir ignorieren Schaltjahre für diese Berechnung). Die Berechnung erfolgt wie folgt: 1. Die erste Person kann an einem beliebigen der 365 Tage Geburtstag haben. 2. Die zweite Person hat dann 364 Möglichkeiten, um an einem anderen Tag Geburtstag zu haben. 3. Die dritte Person hat 363 Möglichkeiten, und so weiter. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle 50 Personen an unterschiedlichen Tagen Geburtstag haben, ist also: \[ P(\text{alle unterschiedlich}) = \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \ldots \times \frac{316}{365} \] Das Produkt dieser Brüche kann vereinfacht werden, und die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Personen am selben Tag Geburtstag haben, ist dann: \[ P(\text{mindestens zwei gleich}) = 1 - P(\text{alle unterschiedlich}) \] Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Personen am selben Tag Geburtstag haben, beträgt bei 50 Personen etwa 97%. Dies zeigt, dass es in relativ kleinen Gruppen eine hohe Wahrscheinlichkeit gibt, dass zwei Personen am selben Tag Geburtstag haben.

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten genau die 8 Kreuz-Karten gezogen werden, kannst du die folgende Formel verwenden: Die Gesamtanzahl der Möglichkei... [mehr]

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten genau die 8 Kreuz-Karten gezogen werden, kannst du die folgende Formel verwenden: Die Gesamtanzahl der Möglichkeiten, 8 Karten aus 32 zu ziehen, wird durch den Binomialkoeffizienten \(\binom{32}{8}\) dargestellt. Die Anzahl der Möglichkeiten, genau die 8 Kreuz-Karten zu ziehen, ist 1, da es nur eine Möglichkeit gibt, diese spezifischen Karten zu wählen. Die Wahrscheinlichkeit \(P\) ist also: \[ P = \frac{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}{\text{Anzahl der möglichen Fälle}} = \frac{1}{\binom{32}{8}} \] Nun berechnen wir \(\binom{32}{8}\): \[ \binom{32}{8} = \frac{32!}{8!(32-8)!} = \frac{32!}{8! \cdot 24!} \] Das ergibt: \[ \binom{32}{8} = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26 \times 25}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 105,622,176 \] Somit ist die Wahrscheinlichkeit: \[ P = \frac{1}{105,622,176} \approx 9.47 \times 10^{-9} \] Die Wahrscheinlichkeit, dass die 8 gezogenen Karten die 8 Kreuz-Karten sind, beträgt also etwa \(9.47 \times 10^{-9}\) oder 0.00000000947.