Welche Wahrscheinlichkeit besteht, 3 blaue Kugeln hintereinander aus 15 zu ziehen, wenn 4 blau sind?

Question

Welche Wahrscheinlichkeit besteht, 3 blaue Kugeln hintereinander aus 15 zu ziehen, wenn 4 blau sind?

Antwort

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Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten die 8 Kreuz-Karten gezogen werden?

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass du 3 blaue Kugeln hintereinander aus einer Menge von 15 Kugeln ziehst, von denen 4 blau sind, kannst du die Wahrscheinlichkeiten für jeden Zug multiplizieren. 1. **Erster Zug**: Die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu ziehen, ist \( \frac{4}{15} \). 2. **Zweiter Zug**: Nach dem ersten Zug sind noch 14 Kugeln übrig, davon 3 blau. Die Wahrscheinlichkeit, eine weitere blaue Kugel zu ziehen, ist \( \frac{3}{14} \). 3. **Dritter Zug**: Nach dem zweiten Zug sind noch 13 Kugeln übrig, davon 2 blau. Die Wahrscheinlichkeit, eine weitere blaue Kugel zu ziehen, ist \( \frac{2}{13} \). Die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass du 3 blaue Kugeln hintereinander ziehst, ist das Produkt dieser Wahrscheinlichkeiten: \[ \frac{4}{15} \times \frac{3}{14} \times \frac{2}{13} \] Rechne das aus: \[ \frac{4 \times 3 \times 2}{15 \times 14 \times 13} = \frac{24}{2730} = \frac{4}{455} \] Die Wahrscheinlichkeit, dass du 3 blaue Kugeln hintereinander ziehst, ist also \( \frac{4}{455} \).

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten genau die 8 Kreuz-Karten gezogen werden, kannst du die folgende Formel verwenden: Die Gesamtanzahl der Möglichkei... [mehr]

Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass aus einem Kartenspiel mit 32 Karten genau die 8 Kreuz-Karten gezogen werden, kannst du die folgende Formel verwenden: Die Gesamtanzahl der Möglichkeiten, 8 Karten aus 32 zu ziehen, wird durch den Binomialkoeffizienten \(\binom{32}{8}\) dargestellt. Die Anzahl der Möglichkeiten, genau die 8 Kreuz-Karten zu ziehen, ist 1, da es nur eine Möglichkeit gibt, diese spezifischen Karten zu wählen. Die Wahrscheinlichkeit \(P\) ist also: \[ P = \frac{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}{\text{Anzahl der möglichen Fälle}} = \frac{1}{\binom{32}{8}} \] Nun berechnen wir \(\binom{32}{8}\): \[ \binom{32}{8} = \frac{32!}{8!(32-8)!} = \frac{32!}{8! \cdot 24!} \] Das ergibt: \[ \binom{32}{8} = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26 \times 25}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 105,622,176 \] Somit ist die Wahrscheinlichkeit: \[ P = \frac{1}{105,622,176} \approx 9.47 \times 10^{-9} \] Die Wahrscheinlichkeit, dass die 8 gezogenen Karten die 8 Kreuz-Karten sind, beträgt also etwa \(9.47 \times 10^{-9}\) oder 0.00000000947.