Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, genau 15 faulige Kirschen zu haben, wenn 100 Kirschen gepflückt werden und 12 Prozent faulig sind?

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass genau 15 von 100 Kirschen faulig sind, wenn 12 Prozent der Kirschen faulig sind, kann die Binomialverteilung verwendet werden. Die Binomialverteilung beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer festen Anzahl von unabhängigen Versuchen, wobei jeder Versuch nur zwei mögliche Ergebnisse hat (Erfolg oder Misserfolg).

Die Formel für die Binomialverteilung lautet:

\[ P(X = k) = \binom{nk} p^k (1-p)^{n-k} \]

Dabei ist:
- \( n \) die Gesamtzahl der Versuche (hier 100),
- \( k \) die Anzahl der Erfolge (hier 15),
- \( p \) die Erfolgswahrscheinlichkeit (hier 0.12),
- \( \binom{n}{k} \) der Binomialkoeffizient, der die Anzahl der Möglichkeiten darstellt, \( k \) Erfolge in \( n \) Versuchen anzuordnen.

Setze die Werte in die Formel ein:

\[ P(X = 15) = \binom{100}{15} (0.12)^{15} (0.88)^{85} \]

Der Binomialkoeffizient \(\binom{100}{15}\) kann berechnet werden als:

\[ \binom{100}{15} = \frac{100!}{15!(100-15)!} \]

Die Berechnung dieses Wertes und der gesamten Wahrscheinlichkeit ist komplex und wird normalerweise mit einem Taschenrechner oder einer Software durchgeführt. Hier ist eine vereinfachte Berechnung mit einem Taschenrechner oder einer Software wie Python:

```python
import math

n = 100
k = 15
p = 0.12

binom_coeff = math.comb(n, k)
probability = binom_coeff * (p ** k) * ((1 - p) ** (n - k))

print(probability)
```

Das Ergebnis dieser Berechnung gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass genau 15 von 100 Kirschen faulig sind.