Wie groß ist das Volumen V des von den Vektoren u und v sowie dem Kreuzprodukt u × v aufgespannten Spats?

Um das Volumen \( V \) des von den Vektoren \( \vec{u} \), \( \vec{v} \) und \( \vec{u} \times \vec{v} \) aufgespannten Spats zu berechnen, kannst du die Formel für das Volumen eines Spats verwenden, das durch drei Vektoren aufgespannt wird:

\[
V = \left| \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) \right|
\]

In diesem Fall ist \( \vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} \). Zuerst berechnen wir das Kreuzprodukt \( \vec{u} \times \vec{v} \).

Die Vektoren sind:
\[
\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
\]

Das Kreuzprodukt \( \vec{u} \times \vec{v} \) wird wie folgt berechnet:

\[
\vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 \cdot 1 - 3 \cdot 1) \\ (3 \cdot -1 - 2 \cdot 1) \\ (2 \cdot 1 - 1 \cdot -1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 3 \\ -3 - 2 \\ 2 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}
\]

Nun berechnen wir das Skalarprodukt \( \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) \):

\[
\vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \cdot -2 + 1 \cdot -5 + 3 \cdot 3 = -4 - 5 + 9 = 0
\]

Das Volumen \( V \) ist also:

\[
V = \left| 0 \right| = 0
\]

Das bedeutet, dass die Vektoren \( \vec{u} \), \( \vec{v} \) und \( \vec{u} \times \vec{v} \) in einer Ebene liegen und somit kein Volumen aufspannen. Das Volumen des Spats ist \( 0 \).