Was sind die vier Fälle der Potenzfunktionen?

Die vier Fälle der Potenzfunktionen beziehen sich auf die unterschiedlichen Formen, die eine Potenzfunktion \( f(x) = x^n \) annehmen kann, je nach dem Wert des Exponenten \( n \). Diese Fälle sind:

1. **Positive ganze Zahlen (n > 0)**:
- Beispiel: \( f(x) = x^2 \)
- Diese Funktionen sind Polynome und haben eine parabolische Form für gerade \( n \) und eine kubische oder höhere Form für ungerade \( n \).

2. **Negative ganze Zahlen (n < 0)**:
- Beispiel: \( f(x) = x^{-1} = \frac{1}{x} \)
- Diese Funktionen sind Hyperbelfunktionen und haben Asymptoten, da sie für \( x = 0 \) nicht definiert sind.

3. **Brüche (0 < n < 1)**:
- Beispiel: \( f(x) = x^{1/2} = \sqrt{x} \)
- Diese Funktionen sind Wurzelfunktionen und haben eine Kurve, die im ersten Quadranten verläuft.

4. **Null (n = 0)**:
- Beispiel: \( f(x) = x^0 = 1 \)
- Diese Funktion ist eine konstante Funktion, die für alle \( x \) den Wert 1 hat.

Jeder dieser Fälle hat unterschiedliche Eigenschaften und Verhaltensweisen, die in der Mathematik und in Anwendungen wichtig sind.