3 Fragen zu Potenzfunktionen

Die vier Fälle der Potenzfunktionen beziehen sich auf die unterschiedlichen Formen, die eine Potenzfunktion \( f(x) = x^n \) annehmen kann, je nach dem Wert des Exponenten \( n \). Diese Fälle sind: 1. **Positive ganze Zahlen (n > 0)**: - Beispiel: \( f(x) = x^2 \) - Diese Funktionen sind Polynome und haben eine parabolische Form für gerade \( n \) und eine kubische oder höhere Form für ungerade \( n \). 2. **Negative ganze Zahlen (n < 0)**: - Beispiel: \( f(x) = x^{-1} = \frac{1}{x} \) - Diese Funktionen sind Hyperbelfunktionen und haben Asymptoten, da sie für \( x = 0 \) nicht definiert sind. 3. **Brüche (0 < n < 1)**: - Beispiel: \( f(x) = x^{1/2} = \sqrt{x} \) - Diese Funktionen sind Wurzelfunktionen und haben eine Kurve, die im ersten Quadranten verläuft. 4. **Null (n = 0)**: - Beispiel: \( f(x) = x^0 = 1 \) - Diese Funktion ist eine konstante Funktion, die für alle \( x \) den Wert 1 hat. Jeder dieser Fälle hat unterschiedliche Eigenschaften und Verhaltensweisen, die in der Mathematik und in Anwendungen wichtig sind.

Potenzfunktionen der Form \( f(x) = x^n \) mit einem positiven und ungeraden Exponenten \( n \) weisen eine bestimmte Symmetrie auf. Diese Funktionen sind punktsymmetrisch zum Ursprung. Das bedeutet, dass für jeden Punkt \( (x, f(x)) \) auch der Punkt \( (-x, f(-x)) \) auf der Funktion liegt. Mathematisch ausgedrückt gilt: \[ f(-x) = (-x)^n = -x^n = -f(x) \] Das zeigt, dass die Funktion für negative Werte von \( x \) das Vorzeichen wechselt, was die Punktsymmetrie zum Ursprung bestätigt. Ein Beispiel für eine solche Funktion ist \( f(x) = x^3 \). Zusammenfassend lässt sich sagen, dass Potenzfunktionen mit positiven und ungeraden Exponenten punktsymmetrisch zum Ursprung sind.

Potenzfunktionen mit positivem und ungeradem Exponenten, also Funktionen der Form \( f(x) = x^n \) mit \( n \) ungerade, besitzen eine ungerade Symmetrie. Das bedeutet, dass die Funktion die Eigenschaft \( f(-x) = -f(x) \) erfüllt. Grafisch zeigt sich dies darin, dass der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist.