Wenn \( X \) und \( Y \) unabhängige Zufallsvariablen sind, die geometrisch verteilt sind mit Parameter \( q \in (0, 1) \), dann ist die Verteilung von \( Z = X + Y \) eine negative Binomialverteilung. Die geometrische Verteilung mit Parameter \( q \) hat die Wahrscheinlichkeit \( P(X = k) = (1-q)^{k-1} q \) für \( k = 1, 2, 3, \ldots \). Wenn \( X \) und \( Y \) unabhängig und geometrisch verteilt sind, dann ist die Summe \( Z = X + Y \) negativ binomial verteilt mit den Parametern \( r = 2 \) (Anzahl der Erfolge) und \( p = q \) (Erfolgswahrscheinlichkeit). Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der negativen Binomialverteilung mit Parametern \( r \) und \( p \) ist gegeben durch: \[ P(Z = k) = \binom{k-1}{r-1} (1-p)^{k-r} p^r \] für \( k = r, r+1, r+2, \ldots \). In diesem Fall ist \( r = 2 \) und \( p = q \), also: \[ P(Z = k) = \binom{k-1}{1} (1-q)^{k-2} q^2 \] für \( k = 2, 3, 4, \ldots \). Das bedeutet, die Verteilung von \( Z = X + Y \) ist eine negative Binomialverteilung mit den Parametern \( r = 2 \) und \( p = q \).