Beweise, dass eine um 1 verminderte ungerade Quadratzahl stets durch 8 teilbar ist.

Um zu beweisen, dass eine ungerade Quadratzahl minus 1 stets durch 8 teilbar ist, betrachten wir eine ungerade Zahl in der Form \( n = 2k + 1 \), wobei \( k \) eine ganze Zahl ist.

Die Quadratzahl dieser ungeraden Zahl ist:

\[
n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k + 1) + 1
\]

Da \( k(k + 1) \) immer ein Produkt aus zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen ist, ist es immer gerade. Das bedeutet, dass \( 4k(k + 1) \) durch 8 teilbar ist, weil es mindestens ein Faktor von 2 aus \( k(k + 1) \) gibt.

Nun ziehen wir 1 von der Quadratzahl ab:

\[
n^2 - 1 = (4k(k + 1) + 1) - 1 = 4k(k + 1)
\]

Da \( 4k(k + 1) \) durch 4 teilbar ist, müssen wir zeigen, dass es auch durch 8 teilbar ist.

Betrachten wir die beiden Fälle für \( k \):

1. **Fall 1:** \( k \) ist gerade. Dann kann man \( k \) als \( k = 2m \) für eine ganze Zahl \( m \) schreiben. In diesem Fall ist:

\[
k(k + 1) = 2m(2m + 1)
\]

Das Produkt \( 2m(2m + 1) \) ist immer gerade, und somit ist \( 4k(k + 1) = 8m(2m + 1) \), was durch 8 teilbar ist.

2. **Fall 2:** \( k \) ist ungerade. Dann kann man \( k \) als \( k = 2m + 1 \) für eine ganze Zahl \( m \) schreiben. In diesem Fall ist:

\[
k(k + 1) = (2m + 1)(2m + 2) = (2m + 1) \cdot 2(m + 1)
\]

Das Produkt \( (2m + 1) \cdot 2(m + 1) \) ist ebenfalls gerade, und somit ist \( 4k(k + 1) = 8m(m + 1) + 4(m + 1) \), was auch durch 8 teilbar ist.

In beiden Fällen ist \( n^2 - 1 \) durch 8 teilbar. Daher haben wir bewiesen, dass wenn man eine ungerade Quadratzahl um 1 vermindert, diese Zahl stets durch 8 teilbar ist.