Ein Divisor ist eine Zahl, durch die eine andere Zahl ohne Rest geteilt werden kann. Zum Beispiel ist 3 ein Divisor von 12, weil 12 geteilt durch 3 gleich 4 ist und kein Rest bleibt. In der Mathematik... [mehr]
Beweise, dass eine um 1 verminderte ungerade Quadratzahl stets durch 8 teilbar ist.
AntwortUm zu beweisen, dass eine ungerade Quadratzahl minus 1 stets durch 8 teilbar ist, betrachten wir eine ungerade Zahl in der Form \( n = 2k + 1 \), wobei \( k \) eine ganze Zahl ist. Die Quadratzahl dieser ungeraden Zahl ist: \[ n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k + 1) + 1 \] Da \( k(k + 1) \) immer ein Produkt aus zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen ist, ist es immer gerade. Das bedeutet, dass \( 4k(k + 1) \) durch 8 teilbar ist, weil es mindestens ein Faktor von 2 aus \( k(k + 1) \) gibt. Nun ziehen wir 1 von der Quadratzahl ab: \[ n^2 - 1 = (4k(k + 1) + 1) - 1 = 4k(k + 1) \] Da \( 4k(k + 1) \) durch 4 teilbar ist, müssen wir zeigen, dass es auch durch 8 teilbar ist. Betrachten wir die beiden Fälle für \( k \): 1. **Fall 1:** \( k \) ist gerade. Dann kann man \( k \) als \( k = 2m \) für eine ganze Zahl \( m \) schreiben. In diesem Fall ist: \[ k(k + 1) = 2m(2m + 1) \] Das Produkt \( 2m(2m + 1) \) ist immer gerade, und somit ist \( 4k(k + 1) = 8m(2m + 1) \), was durch 8 teilbar ist. 2. **Fall 2:** \( k \) ist ungerade. Dann kann man \( k \) als \( k = 2m + 1 \) für eine ganze Zahl \( m \) schreiben. In diesem Fall ist: \[ k(k + 1) = (2m + 1)(2m + 2) = (2m + 1) \cdot 2(m + 1) \] Das Produkt \( (2m + 1) \cdot 2(m + 1) \) ist ebenfalls gerade, und somit ist \( 4k(k + 1) = 8m(m + 1) + 4(m + 1) \), was auch durch 8 teilbar ist. In beiden Fällen ist \( n^2 - 1 \) durch 8 teilbar. Daher haben wir bewiesen, dass wenn man eine ungerade Quadratzahl um 1 vermindert, diese Zahl stets durch 8 teilbar ist.
