Um die kleinsten Vertreter der Relation \( xRy \) zu finden, bei der \( \sigma(x) - \sigma(y) \) durch 5 teilbar ist, betrachten wir die Werte von \( \sigma(n) \) für die ersten natürlichen... [mehr]
Ist die Folge (1 + (−1)^k) für k ∈ N eine Teilfolge von (1 − (−1)^n) für n ∈ N?
AntwortUm zu überprüfen, ob die Folge \( (1 + (-1)^k)_{k \in \mathbb{N}} \) eine Teilfolge von \( (1 - (-1)^n)_{n \in \mathbb{N}} \) ist, schauen wir uns beide Folgen genauer an. 1. **Die Folge \( (1 + (-1)^k)_{k \in \mathbb{N}} \)**: - Für gerade \( k \) (z.B. \( k = 0, 2, 4, \ldots \)) ist \( (-1)^k = 1 \), also \( 1 + 1 = 2 \). - Für ungerade \( k \) (z.B. \( k = 1, 3, 5, \ldots \)) ist \( (-1)^k = -1 \), also \( 1 - 1 = 0 \). - Die Folge alterniert also zwischen 2 und 0: \( 2, 0, 2, 0, \ldots \). 2. **Die Folge \( (1 - (-1)^n)_{n \in \mathbb{N}} \)**: - Für gerade \( n \) ist \( (-1)^n = 1 \), also \( 1 - 1 = 0 \). - Für ungerade \( n \) ist \( (-1)^n = -1 \), also \( 1 + 1 = 2 \). - Diese Folge alterniert ebenfalls zwischen 0 und 2: \( 0, 2, 0, 2, \ldots \). Da beide Folgen die gleichen Werte (0 und 2) annehmen, ist die Folge \( (1 + (-1)^k)_{k \in \mathbb{N}} \) tatsächlich eine Teilfolge von \( (1 - (-1)^n)_{n \in \mathbb{N}} \).
