3 Fragen zu Naturzahlen

Die Umkehrung der Aussage "Für alle natürlichen Zahlen a und b: a∙b gerade ⇒ a gerade und b gerade" lautet: "Für alle natürlichen Zahlen a und b: a gerade und b gerade ⇒ a∙b." Das bedeutet, dass wenn sowohl a als auch b gerade sind, dann ist auch das Produkt a∙b gerade.

Um zu überprüfen, ob die Folge \( (1 + (-1)^k)_{k \in \mathbb{N}} \) eine Teilfolge von \( (1 - (-1)^n)_{n \in \mathbb{N}} \) ist, schauen wir uns beide Folgen genauer an. 1. **Die Folge \( (1 + (-1)^k)_{k \in \mathbb{N}} \)**: - Für gerade \( k \) (z.B. \( k = 0, 2, 4, \ldots \)) ist \( (-1)^k = 1 \), also \( 1 + 1 = 2 \). - Für ungerade \( k \) (z.B. \( k = 1, 3, 5, \ldots \)) ist \( (-1)^k = -1 \), also \( 1 - 1 = 0 \). - Die Folge alterniert also zwischen 2 und 0: \( 2, 0, 2, 0, \ldots \). 2. **Die Folge \( (1 - (-1)^n)_{n \in \mathbb{N}} \)**: - Für gerade \( n \) ist \( (-1)^n = 1 \), also \( 1 - 1 = 0 \). - Für ungerade \( n \) ist \( (-1)^n = -1 \), also \( 1 + 1 = 2 \). - Diese Folge alterniert ebenfalls zwischen 0 und 2: \( 0, 2, 0, 2, \ldots \). Da beide Folgen die gleichen Werte (0 und 2) annehmen, ist die Folge \( (1 + (-1)^k)_{k \in \mathbb{N}} \) tatsächlich eine Teilfolge von \( (1 - (-1)^n)_{n \in \mathbb{N}} \).

Um die kleinsten Vertreter der Relation \( xRy \) zu finden, bei der \( \sigma(x) - \sigma(y) \) durch 5 teilbar ist, betrachten wir die Werte von \( \sigma(n) \) für die ersten natürlichen Zahlen. Die Funktion \( \sigma(n) \) gibt die Summe aller Teiler von \( n \) an. Hier sind die Werte für die ersten paar natürlichen Zahlen: - \( \sigma(1) = 1 \) - \( \sigma(2) = 1 + 2 = 3 \) - \( \sigma(3) = 1 + 3 = 4 \) - \( \sigma(4) = 1 + 2 + 4 = 7 \) - \( \sigma(5) = 1 + 5 = 6 \) - \( \sigma(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12 \) - \( \sigma(7) = 1 + 7 = 8 \) - \( \sigma(8) = 1 + 2 + 4 + 8 = 15 \) - \( \sigma(9) = 1 + 3 + 9 = 13 \) - \( \sigma(10) = 1 + 2 + 5 + 10 = 18 \) Nun berechnen wir \( \sigma(n) \mod 5 \): - \( \sigma(1) \mod 5 = 1 \) - \( \sigma(2) \mod 5 = 3 \) - \( \sigma(3) \mod 5 = 4 \) - \( \sigma(4) \mod 5 = 2 \) - \( \sigma(5) \mod 5 = 1 \) - \( \sigma(6) \mod 5 = 2 \) - \( \sigma(7) \mod 5 = 3 \) - \( \sigma(8) \mod 5 = 0 \) - \( \sigma(9) \mod 5 = 3 \) - \( \sigma(10) \mod 5 = 3 \) Die Werte von \( \sigma(n) \mod 5 \) sind: - \( 1, 3, 4, 2, 1, 2, 3, 0, 3, 3 \) Um die kleinsten Vertreter zu finden, die in der Relation \( xRy \) stehen, suchen wir nach Zahlen, deren \( \sigma \)-Werte den gleichen Rest bei Division durch 5 haben. Die kleinsten Vertreter sind: - Für Rest 0: \( 8 \) - Für Rest 1: \( 1, 5 \) - Für Rest 2: \( 4, 6 \) - Für Rest 3: \( 2, 7, 3 \) - Für Rest 4: \( 3 \) Somit sind die kleinsten Vertreter der Relation \( xRy \) die Zahlen \( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \).