In der allgemeinen Lösung einer linearen homogenen Differentialgleichung dritter Ordnung mit konstanten Koeffizienten treten Terme der Form \( e^{\lambda t} \), \( t e^{\lambda t} \) und \( t^2 e^{\lambda t} \) auf, wenn die charakteristische Gleichung der Differentialgleichung mehrfache Wurzeln hat. Angenommen, die charakteristische Gleichung hat die Form \( (\lambda - \lambda_1)^3 = 0 \), was bedeutet, dass \( \lambda_1 \) eine dreifache Wurzel ist. Dann ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung: \[ y(t) = (C_1 + C_2 t + C_3 t^2) e^{\lambda_1 t} \] Hierbei sind \( C_1 \), \( C_2 \) und \( C_3 \) Konstanten, die durch Anfangsbedingungen bestimmt werden. Der Grund, warum Terme wie \( t e^{\lambda t} \) und \( t^2 e^{\lambda t} \) auftreten, liegt in der Theorie der linearen Differentialgleichungen. Wenn eine Wurzel der charakteristischen Gleichung mehrfach auftritt, müssen zusätzliche unabhängige Lösungen gefunden werden, die die Linearität und Unabhängigkeit der Lösungen sicherstellen. Diese zusätzlichen Lösungen sind genau die Terme, die mit \( t \) und \( t^2 \) multipliziert werden.