Das wievielte Wort ist STARK in lexikografisch geordneter Permutation seiner Buchstaben?

Question

Das wievielte Wort ist STARK in lexikografisch geordneter Permutation seiner Buchstaben?

Antwort

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Wie hängt das Produkt n(n-1)(n-2)...(n-k+1) mit n! zusammen?

Accepted Answer

Um die Position des Wortes "STARK" in der lexikografisch geordneten Liste aller Permutationen seiner Buchstaben zu finden, kann eine systematische Methode verwendet werden: 1. **Buchstaben sortieren**: Die Buchstaben von "STARK" sind A, K, R, S, T. 2. **Berechnung der Position**: - **Erster Buchstabe**: - A: Alle Permutationen, die mit A beginnen, kommen vor STARK. Es gibt 4! = 24 Permutationen, die mit A beginnen. - K: Alle Permutationen, die mit K beginnen, kommen vor STARK. Es gibt 4! = 24 Permutationen, die mit K beginnen. - R: Alle Permutationen, die mit R beginnen, kommen vor STARK. Es gibt 4! = 24 Permutationen, die mit R beginnen. - **Zweiter Buchstabe** (nach S): - SA: Alle Permutationen, die mit SA beginnen, kommen vor STARK. Es gibt 3! = 6 Permutationen, die mit SA beginnen. - SK: Alle Permutationen, die mit SK beginnen, kommen vor STARK. Es gibt 3! = 6 Permutationen, die mit SK beginnen. - **Dritter Buchstabe** (nach ST): - STA: Alle Permutationen, die mit STA beginnen, kommen vor STARK. Es gibt 2! = 2 Permutationen, die mit STA beginnen. - STK: Alle Permutationen, die mit STK beginnen, kommen vor STARK. Es gibt 2! = 2 Permutationen, die mit STK beginnen. - **Vierter Buchstabe** (nach STAR): - STAR: Es gibt 1! = 1 Permutation, die mit STAR beginnt und vor STARK kommt. 3. **Summierung der Positionen**: - A: 24 Permutationen - K: 24 Permutationen - R: 24 Permutationen - SA: 6 Permutationen - SK: 6 Permutationen - STA: 2 Permutationen - STK: 2 Permutationen - STAR: 1 Permutation Die Position von "STARK" ist also: 24 (A) + 24 (K) + 24 (R) + 6 (SA) + 6 (SK) + 2 (STA) + 2 (STK) + 1 (STAR) + 1 (STARK) = 90. Das Wort "STARK" ist somit das 91. Wort in der lexikografisch geordneten Liste der Permutationen seiner Buchstaben.

Accepted Answer

Die Hierarchie der mathematischen Operatoren nennt man **Operatorrangfolge** oder **Operatorpräzedenz**. Im Englischen spricht man von **order of operations** oder **operator precedence**. Sie le... [mehr]

Accepted Answer

Die Hierarchie der mathematischen Operatoren nennt man **Operatorrangfolge** oder **Operatorpräzedenz**. Im Englischen spricht man von **order of operations** oder **operator precedence**. Sie legt fest, in welcher Reihenfolge mathematische Ausdrücke mit mehreren Operatoren ausgewertet werden.

Accepted Answer

Die 6 CDs können auf **720 verschiedene Arten** im Regal angeordnet werden. Das ergibt sich aus der Anzahl der Permutationen von 6 verschiedenen Objekten, also \( 6! \) (6 Fakultät): \( 6!... [mehr]

Accepted Answer

Die 6 CDs können auf **720 verschiedene Arten** im Regal angeordnet werden. Das ergibt sich aus der Anzahl der Permutationen von 6 verschiedenen Objekten, also \( 6! \) (6 Fakultät): \( 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \)

Accepted Answer

Eine permutationsinvariante Aggregation ist ein Begriff aus der Mathematik und dem maschinellen Lernen, insbesondere im Zusammenhang mit der Verarbeitung von Mengen (englisch: "sets"). Sie b... [mehr]

Accepted Answer

Eine permutationsinvariante Aggregation ist ein Begriff aus der Mathematik und dem maschinellen Lernen, insbesondere im Zusammenhang mit der Verarbeitung von Mengen (englisch: "sets"). Sie beschreibt eine Aggregationsfunktion, deren Ergebnis unabhängig von der Reihenfolge der Eingabeelemente ist. **Konkret bedeutet das:** Wenn du eine Menge von Elementen hast und eine Aggregationsfunktion darauf anwendest, ist das Ergebnis immer gleich, egal in welcher Reihenfolge die Elemente angeordnet sind. **Beispiel:** - Die Summe einer Menge {a, b, c} ist a + b + c, egal ob du die Elemente als (a, b, c), (b, c, a) oder (c, a, b) anordnest. - Das Maximum oder Minimum einer Menge ist ebenfalls unabhängig von der Reihenfolge. **Mathematisch:** Eine Funktion \( f \) ist permutationsinvariant, wenn für jede Permutation \( \pi \) gilt: \[ f(x_1, x_2, ..., x_n) = f(x_{\pi(1)}, x_{\pi(2)}, ..., x_{\pi(n)}) \] **Anwendung:** In neuronalen Netzen, die mit Mengen arbeiten (z.B. PointNet für Punktwolken), werden oft solche Aggregationsfunktionen (wie Summe, Mittelwert, Maximum) verwendet, um sicherzustellen, dass das Netzwerk nicht von der Reihenfolge der Eingabedaten beeinflusst wird. **Zusammengefasst:** Eine permutationsinvariante Aggregation ist eine Methode, mehrere Werte so zusammenzufassen, dass das Ergebnis nicht von der Reihenfolge der Werte abhängt.

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Der Ausdruck \( n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \) ist das sogenannte **absteigende Produkt** von \( n \) mit \( k \) Faktoren. Es wird auch als **Fakultätsbruch** oder **fal... [mehr]

Accepted Answer

Der Ausdruck \( n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \) ist das sogenannte **absteigende Produkt** von \( n \) mit \( k \) Faktoren. Es wird auch als **Fakultätsbruch** oder **fallende Faktorielle** bezeichnet. Die **Fakultät** von \( n \), geschrieben als \( n! \), ist definiert als das Produkt aller natürlichen Zahlen von \( n \) bis 1: \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 \] Um von deinem Ausdruck auf \( n! \) zu kommen, beachte Folgendes: - Dein Ausdruck hat nur \( k \) Faktoren, nämlich von \( n \) bis \( n-k+1 \). - \( n! \) hat aber alle Faktoren von \( n \) bis 1. Man kann deinen Ausdruck als Bruch von zwei Fakultäten schreiben: \[ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} \] **Begründung:** Wenn du \( n! \) ausschreibst, hast du: \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \cdot (n-k) \cdot \ldots \cdot 1 \] Wenn du durch \( (n-k)! \) teilst, kürzt sich der hintere Teil weg: \[ \frac{n!}{(n-k)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \cdot (n-k)!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \] **Zusammenfassung:** Dein Produkt ist ein Teil von \( n! \). Wenn du alle Faktoren von \( n \) bis 1 haben willst, also \( n! \), musst du noch mit den fehlenden Faktoren multiplizieren, oder du schreibst es als Bruch: \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \cdot (n-k)! \] bzw. \[ n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} \]

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