Das wievielte Wort ist STARK in lexikografisch geordneter Permutation seiner Buchstaben?

Question

Das wievielte Wort ist STARK in lexikografisch geordneter Permutation seiner Buchstaben?

Antwort

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Wie sind die Begriffe Wiederholung und Reihenfolge bei Permutationen definiert?

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Auf wie viele Arten können 6 CDs im Regal angeordnet werden?

Was bedeutet permutationsinvariante Aggregation?

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Um die Position des Wortes "STARK" in der lexikografisch geordneten Liste aller Permutationen seiner Buchstaben zu finden, kann eine systematische Methode verwendet werden: 1. **Buchstaben sortieren**: Die Buchstaben von "STARK" sind A, K, R, S, T. 2. **Berechnung der Position**: - **Erster Buchstabe**: - A: Alle Permutationen, die mit A beginnen, kommen vor STARK. Es gibt 4! = 24 Permutationen, die mit A beginnen. - K: Alle Permutationen, die mit K beginnen, kommen vor STARK. Es gibt 4! = 24 Permutationen, die mit K beginnen. - R: Alle Permutationen, die mit R beginnen, kommen vor STARK. Es gibt 4! = 24 Permutationen, die mit R beginnen. - **Zweiter Buchstabe** (nach S): - SA: Alle Permutationen, die mit SA beginnen, kommen vor STARK. Es gibt 3! = 6 Permutationen, die mit SA beginnen. - SK: Alle Permutationen, die mit SK beginnen, kommen vor STARK. Es gibt 3! = 6 Permutationen, die mit SK beginnen. - **Dritter Buchstabe** (nach ST): - STA: Alle Permutationen, die mit STA beginnen, kommen vor STARK. Es gibt 2! = 2 Permutationen, die mit STA beginnen. - STK: Alle Permutationen, die mit STK beginnen, kommen vor STARK. Es gibt 2! = 2 Permutationen, die mit STK beginnen. - **Vierter Buchstabe** (nach STAR): - STAR: Es gibt 1! = 1 Permutation, die mit STAR beginnt und vor STARK kommt. 3. **Summierung der Positionen**: - A: 24 Permutationen - K: 24 Permutationen - R: 24 Permutationen - SA: 6 Permutationen - SK: 6 Permutationen - STA: 2 Permutationen - STK: 2 Permutationen - STAR: 1 Permutation Die Position von "STARK" ist also: 24 (A) + 24 (K) + 24 (R) + 6 (SA) + 6 (SK) + 2 (STA) + 2 (STK) + 1 (STAR) + 1 (STARK) = 90. Das Wort "STARK" ist somit das 91. Wort in der lexikografisch geordneten Liste der Permutationen seiner Buchstaben.

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In der Kombinatorik, insbesondere bei Permutationen, sind die Begriffe **Wiederholung** und **Reihenfolge** zentral: **Wiederholung:** Wiederholung bedeutet, dass ein Element mehrmals ausgewäh... [mehr]

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In der Kombinatorik, insbesondere bei Permutationen, sind die Begriffe **Wiederholung** und **Reihenfolge** zentral: **Wiederholung:** Wiederholung bedeutet, dass ein Element mehrmals ausgewählt oder verwendet werden darf. - **Mit Wiederholung:** Ein Element kann beliebig oft in der Anordnung vorkommen. - **Ohne Wiederholung:** Jedes Element darf nur einmal verwendet werden. **Reihenfolge:** Reihenfolge gibt an, ob die Anordnung der Elemente eine Rolle spielt. - **Mit Reihenfolge:** Es ist wichtig, in welcher Reihenfolge die Elemente angeordnet sind (z. B. 123 ≠ 321). - **Ohne Reihenfolge:** Die Anordnung spielt keine Rolle, nur die Auswahl der Elemente zählt (z. B. {1,2,3} = {3,2,1}). **Zusammengefasst:** - **Permutation:** Immer mit Reihenfolge, meist ohne Wiederholung. - **Kombination:** Ohne Reihenfolge, meist ohne Wiederholung. - **Variation:** Mit Reihenfolge, mit oder ohne Wiederholung. Diese Unterscheidung ist wichtig, um die richtige Formel für die Berechnung der Möglichkeiten zu wählen.

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In der Kombinatorik bedeutet „mit Berücksichtigung der Reihenfolge“, dass die Anordnung der ausgewählten Elemente eine Rolle spielt. Das heißt: Verschiedene Reihenfolgen de... [mehr]

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In der Kombinatorik bedeutet „mit Berücksichtigung der Reihenfolge“, dass die Anordnung der ausgewählten Elemente eine Rolle spielt. Das heißt: Verschiedene Reihenfolgen derselben Elemente werden als unterschiedliche Möglichkeiten gezählt. Beispiel: Du hast die Elemente A, B und C und wählst zwei davon aus. - **Mit Berücksichtigung der Reihenfolge** (z. B. Permutationen): Die Paare AB und BA sind verschieden, weil die Reihenfolge zählt. - **Ohne Berücksichtigung der Reihenfolge** (z. B. Kombinationen): Die Paare AB und BA sind gleich, weil nur die Auswahl, nicht aber die Reihenfolge zählt. Kurz gesagt: „Mit Berücksichtigung der Reihenfolge“ = Die Anordnung ist wichtig. „Ohne Berücksichtigung der Reihenfolge“ = Die Anordnung ist egal.

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Hier sind je ein Beispiel für Permutation, Kombination und Variation: **Permutation:** Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, 3 Bücher in eine bestimmte Reihenfolge ins Regal... [mehr]

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Hier sind je ein Beispiel für Permutation, Kombination und Variation: **Permutation:** Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, 3 Bücher in eine bestimmte Reihenfolge ins Regal zu stellen? Antwort: Es gibt 3! = 6 Permutationen. **Kombination:** Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 5 verschiedenen Obstsorten 2 auszuwählen, egal in welcher Reihenfolge? Antwort: Es gibt \(\binom{5}{2} = 10\) Kombinationen. **Variation:** Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 4 verschiedenen Farben 2 auszuwählen und sie in eine bestimmte Reihenfolge zu bringen? Antwort: Es gibt \(4 \times 3 = 12\) Variationen.

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Die Hierarchie der mathematischen Operatoren nennt man **Operatorrangfolge** oder **Operatorpräzedenz**. Im Englischen spricht man von **order of operations** oder **operator precedence**. Sie le... [mehr]

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Die Hierarchie der mathematischen Operatoren nennt man **Operatorrangfolge** oder **Operatorpräzedenz**. Im Englischen spricht man von **order of operations** oder **operator precedence**. Sie legt fest, in welcher Reihenfolge mathematische Ausdrücke mit mehreren Operatoren ausgewertet werden.

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Die 6 CDs können auf **720 verschiedene Arten** im Regal angeordnet werden. Das ergibt sich aus der Anzahl der Permutationen von 6 verschiedenen Objekten, also \( 6! \) (6 Fakultät): \( 6!... [mehr]

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Die 6 CDs können auf **720 verschiedene Arten** im Regal angeordnet werden. Das ergibt sich aus der Anzahl der Permutationen von 6 verschiedenen Objekten, also \( 6! \) (6 Fakultät): \( 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \)

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Eine permutationsinvariante Aggregation ist ein Begriff aus der Mathematik und dem maschinellen Lernen, insbesondere im Zusammenhang mit der Verarbeitung von Mengen (englisch: "sets"). Sie b... [mehr]

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Eine permutationsinvariante Aggregation ist ein Begriff aus der Mathematik und dem maschinellen Lernen, insbesondere im Zusammenhang mit der Verarbeitung von Mengen (englisch: "sets"). Sie beschreibt eine Aggregationsfunktion, deren Ergebnis unabhängig von der Reihenfolge der Eingabeelemente ist. **Konkret bedeutet das:** Wenn du eine Menge von Elementen hast und eine Aggregationsfunktion darauf anwendest, ist das Ergebnis immer gleich, egal in welcher Reihenfolge die Elemente angeordnet sind. **Beispiel:** - Die Summe einer Menge {a, b, c} ist a + b + c, egal ob du die Elemente als (a, b, c), (b, c, a) oder (c, a, b) anordnest. - Das Maximum oder Minimum einer Menge ist ebenfalls unabhängig von der Reihenfolge. **Mathematisch:** Eine Funktion \( f \) ist permutationsinvariant, wenn für jede Permutation \( \pi \) gilt: \[ f(x_1, x_2, ..., x_n) = f(x_{\pi(1)}, x_{\pi(2)}, ..., x_{\pi(n)}) \] **Anwendung:** In neuronalen Netzen, die mit Mengen arbeiten (z.B. PointNet für Punktwolken), werden oft solche Aggregationsfunktionen (wie Summe, Mittelwert, Maximum) verwendet, um sicherzustellen, dass das Netzwerk nicht von der Reihenfolge der Eingabedaten beeinflusst wird. **Zusammengefasst:** Eine permutationsinvariante Aggregation ist eine Methode, mehrere Werte so zusammenzufassen, dass das Ergebnis nicht von der Reihenfolge der Werte abhängt.