Das wievielte Wort ist STARK in lexikografisch geordneter Permutation seiner Buchstaben?

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Das wievielte Wort ist STARK in lexikografisch geordneter Permutation seiner Buchstaben?

Antwort

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Wie hängt das Produkt n(n-1)(n-2)...(n-k+1) mit n! zusammen?

Accepted Answer

Um die Position des Wortes "STARK" in der lexikografisch geordneten Liste aller Permutationen seiner Buchstaben zu finden, kann eine systematische Methode verwendet werden: 1. **Buchstaben sortieren**: Die Buchstaben von "STARK" sind A, K, R, S, T. 2. **Berechnung der Position**: - **Erster Buchstabe**: - A: Alle Permutationen, die mit A beginnen, kommen vor STARK. Es gibt 4! = 24 Permutationen, die mit A beginnen. - K: Alle Permutationen, die mit K beginnen, kommen vor STARK. Es gibt 4! = 24 Permutationen, die mit K beginnen. - R: Alle Permutationen, die mit R beginnen, kommen vor STARK. Es gibt 4! = 24 Permutationen, die mit R beginnen. - **Zweiter Buchstabe** (nach S): - SA: Alle Permutationen, die mit SA beginnen, kommen vor STARK. Es gibt 3! = 6 Permutationen, die mit SA beginnen. - SK: Alle Permutationen, die mit SK beginnen, kommen vor STARK. Es gibt 3! = 6 Permutationen, die mit SK beginnen. - **Dritter Buchstabe** (nach ST): - STA: Alle Permutationen, die mit STA beginnen, kommen vor STARK. Es gibt 2! = 2 Permutationen, die mit STA beginnen. - STK: Alle Permutationen, die mit STK beginnen, kommen vor STARK. Es gibt 2! = 2 Permutationen, die mit STK beginnen. - **Vierter Buchstabe** (nach STAR): - STAR: Es gibt 1! = 1 Permutation, die mit STAR beginnt und vor STARK kommt. 3. **Summierung der Positionen**: - A: 24 Permutationen - K: 24 Permutationen - R: 24 Permutationen - SA: 6 Permutationen - SK: 6 Permutationen - STA: 2 Permutationen - STK: 2 Permutationen - STAR: 1 Permutation Die Position von "STARK" ist also: 24 (A) + 24 (K) + 24 (R) + 6 (SA) + 6 (SK) + 2 (STA) + 2 (STK) + 1 (STAR) + 1 (STARK) = 90. Das Wort "STARK" ist somit das 91. Wort in der lexikografisch geordneten Liste der Permutationen seiner Buchstaben.

Accepted Answer

Der Ausdruck \( n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \) ist das sogenannte **absteigende Produkt** von \( n \) mit \( k \) Faktoren. Es wird auch als **Fakultätsbruch** oder **fal... [mehr]

Accepted Answer

Der Ausdruck \( n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \) ist das sogenannte **absteigende Produkt** von \( n \) mit \( k \) Faktoren. Es wird auch als **Fakultätsbruch** oder **fallende Faktorielle** bezeichnet. Die **Fakultät** von \( n \), geschrieben als \( n! \), ist definiert als das Produkt aller natürlichen Zahlen von \( n \) bis 1: \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 \] Um von deinem Ausdruck auf \( n! \) zu kommen, beachte Folgendes: - Dein Ausdruck hat nur \( k \) Faktoren, nämlich von \( n \) bis \( n-k+1 \). - \( n! \) hat aber alle Faktoren von \( n \) bis 1. Man kann deinen Ausdruck als Bruch von zwei Fakultäten schreiben: \[ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} \] **Begründung:** Wenn du \( n! \) ausschreibst, hast du: \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \cdot (n-k) \cdot \ldots \cdot 1 \] Wenn du durch \( (n-k)! \) teilst, kürzt sich der hintere Teil weg: \[ \frac{n!}{(n-k)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \cdot (n-k)!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \] **Zusammenfassung:** Dein Produkt ist ein Teil von \( n! \). Wenn du alle Faktoren von \( n \) bis 1 haben willst, also \( n! \), musst du noch mit den fehlenden Faktoren multiplizieren, oder du schreibst es als Bruch: \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \cdot (n-k)! \] bzw. \[ n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} \]

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