Wie berechnet man Schnittpunkte von einer linearen und einer gemischt quadratischen Funktion mit p-q-Formel?

Um die Schnittpunkte einer linearen Funktion \( f(x) = mx + b \) und einer gemischt quadratischen Funktion \( g(x) = ax^2 + bx + c \) zu berechnen, setzt man die beiden Funktionen gleich und löst die resultierende quadratische Gleichung mit der pq-Formel. Hier ist der Schritt-für-Schritt-Prozess:

1. **Gleichsetzen der Funktionen:**
\[ mx + b = ax^2 + bx + c \]

2. **Umstellen zur Standardform der quadratischen Gleichung:**
\[ ax^2 + (b - m)x + (c - b) = 0 \]

3. **Anwenden der pq-Formel:**
Die pq-Formel lautet:
\[ x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} \]
wobei die quadratische Gleichung in der Form \( x^2 + px + q = 0 \) vorliegen muss.

4. **Umformen der Gleichung:**
\[ x^2 + \frac{b - m}{a}x + \frac{c - b}{a} = 0 \]
Hier ist \( p = \frac{b - m}{a} \) und \( q = \frac{c - b}{a} \).

5. **Einsetzen in die pq-Formel:**
\[ x = -\frac{\frac{b - m}{a}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\frac{b - m}{a}}{2}\right)^2 - \frac{c - b}{a}} \]
\[ x = -\frac{b - m}{2a} \pm \sqrt{\left(\frac{b - m}{2a}\right)^2 - \frac{c - b}{a}} \]

6. **Berechnung der Lösungen:**
\[ x = -\frac{b - m}{2a} \pm \sqrt{\frac{(b - m)^2}{4a^2} - \frac{c - b}{a}} \]
\[ x = -\frac{b - m}{2a} \pm \sqrt{\frac{(b - m)^2 - 4a(c - b)}{4a^2}} \]
\[ x = -\frac{b - m}{2a} \pm \sqrt{\frac{(b - m)^2 - 4ac + 4ab}{4a^2}} \]
\[ x = -\frac{b - m}{2a} \pm \sqrt{\frac{(b - m)^2 + 4ab - 4ac}{4a^2}} \]
\[ x = -\frac{b - m}{2a} \pm \sqrt{\frac{(b - m)^2 + 4a(b - c)}{4a^2}} \]
\[ x = -\frac{b - m}{2a} \pm \frac{\sqrt{(b - m)^2 + 4a(b - c)}}{2a} \]

7. **Endgültige Lösungen:**
\[ x = \frac{-(b - m) \pm \sqrt{(b - m)^2 + 4a(b - c)}}{2a} \]

Diese \( x \)-Werte sind die Schnittpunkte der beiden Funktionen. Um die zugehörigen \( y \)-Werte zu finden, setzt man die \( x \)-Werte in eine der beiden ursprünglichen Funktionen ein.