Wie berechnet man Schnittpunkte von einer linearen und einer gemischt quadratischen Funktion mit p-q-Formel?

Question

Wie berechnet man Schnittpunkte von einer linearen und einer gemischt quadratischen Funktion mit p-q-Formel?

Antwort

Verwandte Fragen

Können sich vier Linien in genau zwei Punkten schneiden?

Wie viele Schnittpunkte können vier Geraden haben?

Accepted Answer

Um die Schnittpunkte einer linearen Funktion \( f(x) = mx + b \) und einer gemischt quadratischen Funktion \( g(x) = ax^2 + bx + c \) zu berechnen, setzt man die beiden Funktionen gleich und löst die resultierende quadratische Gleichung mit der pq-Formel. Hier ist der Schritt-für-Schritt-Prozess: 1. **Gleichsetzen der Funktionen:** \[ mx + b = ax^2 + bx + c \] 2. **Umstellen zur Standardform der quadratischen Gleichung:** \[ ax^2 + (b - m)x + (c - b) = 0 \] 3. **Anwenden der pq-Formel:** Die pq-Formel lautet: \[ x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} \] wobei die quadratische Gleichung in der Form \( x^2 + px + q = 0 \) vorliegen muss. 4. **Umformen der Gleichung:** \[ x^2 + \frac{b - m}{a}x + \frac{c - b}{a} = 0 \] Hier ist \( p = \frac{b - m}{a} \) und \( q = \frac{c - b}{a} \). 5. **Einsetzen in die pq-Formel:** \[ x = -\frac{\frac{b - m}{a}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\frac{b - m}{a}}{2}\right)^2 - \frac{c - b}{a}} \] \[ x = -\frac{b - m}{2a} \pm \sqrt{\left(\frac{b - m}{2a}\right)^2 - \frac{c - b}{a}} \] 6. **Berechnung der Lösungen:** \[ x = -\frac{b - m}{2a} \pm \sqrt{\frac{(b - m)^2}{4a^2} - \frac{c - b}{a}} \] \[ x = -\frac{b - m}{2a} \pm \sqrt{\frac{(b - m)^2 - 4a(c - b)}{4a^2}} \] \[ x = -\frac{b - m}{2a} \pm \sqrt{\frac{(b - m)^2 - 4ac + 4ab}{4a^2}} \] \[ x = -\frac{b - m}{2a} \pm \sqrt{\frac{(b - m)^2 + 4ab - 4ac}{4a^2}} \] \[ x = -\frac{b - m}{2a} \pm \sqrt{\frac{(b - m)^2 + 4a(b - c)}{4a^2}} \] \[ x = -\frac{b - m}{2a} \pm \frac{\sqrt{(b - m)^2 + 4a(b - c)}}{2a} \] 7. **Endgültige Lösungen:** \[ x = \frac{-(b - m) \pm \sqrt{(b - m)^2 + 4a(b - c)}}{2a} \] Diese \( x \)-Werte sind die Schnittpunkte der beiden Funktionen. Um die zugehörigen \( y \)-Werte zu finden, setzt man die \( x \)-Werte in eine der beiden ursprünglichen Funktionen ein.

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Nein, vier Linien können sich im Allgemeinen nicht nur in genau zwei Punkten schneiden. **Begründung:** Wenn sich vier Linien schneiden, gibt es verschiedene Möglichkeiten, wie sie s... [mehr]

Accepted Answer

Nein, vier Linien können sich im Allgemeinen nicht nur in genau zwei Punkten schneiden. **Begründung:** Wenn sich vier Linien schneiden, gibt es verschiedene Möglichkeiten, wie sie sich schneiden können: - **Alle vier Linien gehen durch einen Punkt:** Dann schneiden sie sich in einem Punkt. - **Keine zwei Linien sind parallel, keine drei gehen durch einen Punkt:** Dann schneiden sich je zwei Linien in einem Punkt. Bei vier Linien gibt es \(\binom{4}{2} = 6\) Schnittpunkte. - **Zwei Paare von parallelen Linien:** Dann schneiden sich die Linien in vier Punkten (jede Linie des ersten Paars schneidet jede Linie des zweiten Paars). - **Drei Linien gehen durch einen Punkt, die vierte ist anders:** Dann gibt es mehr als zwei Schnittpunkte. Es ist **nicht möglich**, vier Geraden in einer Ebene so anzuordnen, dass sie sich **nur in genau zwei Punkten** schneiden. Entweder gibt es weniger (alle durch einen Punkt: 1 Schnittpunkt) oder mehr (mindestens 3, meistens 4 oder 6) Schnittpunkte. **Fazit:** Vier Linien können sich nicht in genau zwei Punkten schneiden.

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Vier Geraden können sich auf verschiedene Arten schneiden, je nachdem, wie sie zueinander liegen. Die „Punkte“, die du meinst, sind vermutlich die Schnittpunkte der Geraden. **Allgem... [mehr]

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Vier Geraden können sich auf verschiedene Arten schneiden, je nachdem, wie sie zueinander liegen. Die „Punkte“, die du meinst, sind vermutlich die Schnittpunkte der Geraden. **Allgemein gilt:** - Zwei Geraden schneiden sich (im Allgemeinen) in einem Punkt. - Wenn zwei Geraden parallel sind, schneiden sie sich nicht. - Wenn mehrere Geraden durch einen Punkt gehen (sich also alle in einem Punkt treffen), gibt es weniger Schnittpunkte. **Maximale Anzahl der Schnittpunkte:** Wenn keine zwei Geraden parallel sind und keine drei Geraden sich in einem Punkt schneiden, dann schneidet jede Gerade jede andere Gerade genau einmal. Die Anzahl der Schnittpunkte entspricht dann der Anzahl der Möglichkeiten, aus 4 Geraden jeweils 2 auszuwählen (denn jede Kombination von 2 Geraden ergibt einen Schnittpunkt): \[ \text{Anzahl der Schnittpunkte} = \binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 \] **Mögliche Anzahl der Schnittpunkte:** - **6** (maximal, wenn keine zwei Geraden parallel sind und keine drei sich in einem Punkt schneiden) - **Weniger als 6**, wenn z.B. zwei Geraden parallel sind (dann fehlt ein Schnittpunkt), oder wenn drei oder mehr Geraden sich in einem Punkt treffen (dann „verschmelzen“ mehrere Schnittpunkte zu einem). **Zusammenfassung:** Vier Geraden können **maximal 6 Schnittpunkte** haben. Es sind aber auch weniger möglich, je nach Anordnung der Geraden.