Wie berechnet man Schnittpunkte von einer linearen und einer gemischt quadratischen Funktion?

Um die Schnittpunkte einer linearen Funktion und einer gemischt quadratischen Funktion zu berechnen, folge diesen Schritten:

1. **Gleichungen aufstellen:**
- Lineare Funktion: \( f(x) = mx + b \)
- Gemischt quadratische Funktion: \( g(x) = ax^2 + bx + c \)

2. **Gleichsetzen der Funktionen:**
Setze \( f(x) \) und \( g(x) \) gleich, um die Schnittpunkte zu finden:
\[
mx + b = ax^2 + bx + c
\]

3. **Umstellen zur Nullstellenberechnung:**
Bringe alle Terme auf eine Seite der Gleichung, sodass die Gleichung die Form einer quadratischen Gleichung annimmt:
\[
ax^2 + (b - m)x + (c - b) = 0
\]

4. **Quadratische Gleichung lösen:**
Verwende die Mitternachtsformel (auch bekannt als die quadratische Lösungsformel), um die Werte von \( x \) zu finden:
\[
x = \frac{-(b - m) \pm \sqrt{(b - m)^2 - 4a(c - b)}}{2a}
\]

5. **Berechnung der \( y \)-Werte:**
Setze die gefundenen \( x \)-Werte in eine der ursprünglichen Funktionen (am besten in die lineare Funktion, da sie einfacher ist) ein, um die entsprechenden \( y \)-Werte zu berechnen.

6. **Schnittpunkte angeben:**
Die Schnittpunkte sind die Paare \((x, y)\), die du in den vorherigen Schritten berechnet hast.

Beispiel:
- Lineare Funktion: \( f(x) = 2x + 3 \)
- Gemischt quadratische Funktion: \( g(x) = x^2 + x + 1 \)

Gleichsetzen:
\[
2x + 3 = x^2 + x + 1
\]

Umstellen:
\[
x^2 - x - 2 = 0
\]

Lösen der quadratischen Gleichung:
\[
x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}
\]

Ergebnisse:
\[
x_1 = 2, \quad x_2 = -1
\]

Berechnung der \( y \)-Werte:
\[
y_1 = 2(2) + 3 = 7, \quad y_2 = 2(-1) + 3 = 1
\]

Schnittpunkte:
\[
(2, 7) \quad \text{und} \quad (-1, 1)
\]