Warum ist die Relation R = {(n, m) ∈ N × N : m ist durch n teilbar} eine Halbordnung, aber keine Totalordnung?

Question

Warum ist die Relation R = {(n, m) ∈ N × N : m ist durch n teilbar} eine Halbordnung, aber keine Totalordnung?

Antwort

Verwandte Fragen

R⊆n×n Relation mit kleinster Mächtigkeit, die symmetrisch, antisymmetrisch ist und (4,4)∈R für n=12. |R| ist?

Berechne die Mächtigkeit einer Äquivalenzrelation R mit n=7.

Sei R⊆n×n eine Relation mit kleinster Mächtigkeit, n=7, R ist eine Präordnung (reflexiv & transitiv) und vollständig, und (1, 7),(2, 6)∈R. Wie groß ist |R|?

Anzahl der Totalordnungen auf 6 Elementen?

Accepted Answer

Die Relation \( R = \{(n, m) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} : m \text{ ist durch } n \text{ teilbar}\} \) ist eine Halbordnung, weil sie die drei Eigenschaften einer Halbordnung erfüllt: 1. **Reflexivität**: Für jedes \( n \in \mathbb{N} \) ist \( n \) durch sich selbst teilbar, also \( (n, n) \in R \). 2. **Antisymmetrie**: Wenn \( (n, m) \in R \) und \( (m, n) \in R \), dann bedeutet das, dass \( m \) durch \( n \) und \( n \) durch \( m \) teilbar ist. Das ist nur der Fall, wenn \( n = m \). 3. **Transitivität**: Wenn \( (n, m) \in R \) und \( (m, k) \in R \), dann ist \( k \) durch \( m \) teilbar und \( m \) durch \( n \) teilbar, was bedeutet, dass \( k \) auch durch \( n \) teilbar ist, also \( (n, k) \in R \). Die Relation ist jedoch keine Totalordnung, weil nicht für alle \( n, m \in \mathbb{N} \) gilt, dass entweder \( (n, m) \in R \) oder \( (m, n) \in R \). Zum Beispiel sind \( 2 \) und \( 3 \) zwei natürliche Zahlen, wobei \( 3 \) nicht durch \( 2 \) teilbar ist und umgekehrt. Daher gibt es Paare von Elementen, die nicht in der Relation stehen, was die Totalität der Relation verletzt. Zusammenfassend ist \( R \) eine Halbordnung, weil sie reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist, aber keine Totalordnung, weil nicht alle Paare von Elementen vergleichbar sind.

Accepted Answer

Um die kleinste Mächtigkeit der Relation \( R \subseteq \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) zu bestimmen, die die angegebenen Eigenschaften erfüllt, betrachten wir die Bedingungen: 1. **Symmetr... [mehr]

Accepted Answer

Um die kleinste Mächtigkeit der Relation \( R \subseteq \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) zu bestimmen, die die angegebenen Eigenschaften erfüllt, betrachten wir die Bedingungen: 1. **Symmetrisch**: Wenn \( (a, b) \in R \), dann muss auch \( (b, a) \in R \) gelten. 2. **Antisymmetrisch**: Wenn \( (a, b) \in R \) und \( (b, a) \in R \), dann muss \( a = b \) gelten. 3. **(4, 4) ∈ R**: Das Paar \( (4, 4) \) muss in der Relation enthalten sein. Die Bedingungen der Symmetrie und Antisymmetrie stehen im Widerspruch zueinander, es sei denn, die Relation enthält nur Paare der Form \( (a, a) \). Das bedeutet, dass die Relation nur Reflexivität zulässt, da für jedes \( a \neq b \) die Paare \( (a, b) \) und \( (b, a) \) nicht gleichzeitig in \( R \) sein können. Da \( (4, 4) \in R \) ist, muss \( R \) mindestens das Element \( (4, 4) \) enthalten. Um die kleinste Mächtigkeit zu erreichen, können wir nur die Reflexivpaare für die Elemente von \( \{1, 2, \ldots, 12\} \) in \( R \) aufnehmen. Die Reflexivpaare sind: - \( (1, 1) \) - \( (2, 2) \) - \( (3, 3) \) - \( (4, 4) \) - \( (5, 5) \) - \( (6, 6) \) - \( (7, 7) \) - \( (8, 8) \) - \( (9, 9) \) - \( (10, 10) \) - \( (11, 11) \) - \( (12, 12) \) Das ergibt insgesamt 12 Paare. Da wir nur die Reflexivpaare benötigen, ist die kleinste Mächtigkeit von \( R \): \[ |R| = 12 \]

Accepted Answer

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge mit \( n \) Elementen teilt diese Menge in Äquivalenzklassen auf. Die kleinste Mächtigkeit einer Äquivalenzrelation ist erreicht, wenn alle... [mehr]

Accepted Answer

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge mit \( n \) Elementen teilt diese Menge in Äquivalenzklassen auf. Die kleinste Mächtigkeit einer Äquivalenzrelation ist erreicht, wenn alle Elemente in einer einzigen Äquivalenzklasse zusammengefasst werden. Für \( n = 7 \) bedeutet dies, dass alle 7 Elemente in einer einzigen Äquivalenzklasse sind. Daher ist die Mächtigkeit der Relation \( |R| = 7 \). Zusammenfassend ist die Antwort: \( |R| = 7 \).

Accepted Answer

Um die Mächtigkeit der Relation \( R \) zu bestimmen, die eine Präordnung auf einer Menge mit \( n = 7 \) ist, müssen wir die Eigenschaften einer Präordnung berücksichtigen: R... [mehr]

Accepted Answer

Um die Mächtigkeit der Relation \( R \) zu bestimmen, die eine Präordnung auf einer Menge mit \( n = 7 \) ist, müssen wir die Eigenschaften einer Präordnung berücksichtigen: Reflexivität, Transitivität und Vollständigkeit. 1. **Reflexivität**: Für jede \( a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \) muss \( (a, a) \in R \) gelten. Das bedeutet, dass wir mindestens 7 Paare hinzufügen müssen: \( (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (, 7) \). 2. **Transitivität**: Wenn \( (a, b) \in R \) und \( (b, c) \in R \), dann muss auch \( (a, c) \in R \) gelten. Dies erfordert, dass wir darauf achten, wie die Paare miteinander verbunden sind. 3. **Vollständigkeit**: Für alle \( a, b \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \) muss entweder \( (a, b) \in R \) oder \( (b, a) \in R \) gelten. Das bedeutet, dass für jedes Paar von Elementen in der Menge eine Beziehung bestehen muss. Gegeben sind die Paare \( (1, 7) \) und \( (2, 6) \). Um die Relation vollständig zu machen, müssen wir alle möglichen Paare hinzufügen, die die oben genannten Eigenschaften erfüllen. Da die Relation vollständig ist, müssen wir für jedes der 7 Elemente eine Beziehung zu jedem anderen Element haben. Das bedeutet, dass wir insgesamt \( 7 \times 7 = 49 \) mögliche Paare haben. Da die Reflexivität bereits 7 Paare (eigenen Paare) erfordert und die Vollständigkeit sicherstellt, dass für jedes Paar eine Beziehung besteht, ist die kleinste Mächtigkeit von \( R \), die alle Bedingungen erfüllt, 49. Somit ist die Mächtigkeit von \( R \) gleich \( |R| = 49 \).

Accepted Answer

Eine Totalordnung ist eine spezielle Art von Relation, die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist und zudem für jedes Paar von Elementen eine Vergleichbarkeit gewährleistet. Für... [mehr]

Accepted Answer

Eine Totalordnung ist eine spezielle Art von Relation, die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist und zudem für jedes Paar von Elementen eine Vergleichbarkeit gewährleistet. Für eine Menge mit \( n \) Elementen gibt es genau \( n! \) (n Fakultät) verschiedene Totalordnungen. Für \( n = 6 \) ergibt sich: \[ 6! = 720 \] Es gibt also 720 verschiedene Totalordnungen auf einer Menge mit 6 Elementen.