Die Relation \( R = \{(n, m) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} : m \text{ ist durch } n \text{ teilbar}\} \) ist eine Halbordnung, weil sie die drei Eigenschaften einer Halbordnung erfüllt: 1. **Reflexivität**: Für jedes \( n \in \mathbb{N} \) ist \( n \) durch sich selbst teilbar, also \( (n, n) \in R \). 2. **Antisymmetrie**: Wenn \( (n, m) \in R \) und \( (m, n) \in R \), dann bedeutet das, dass \( m \) durch \( n \) und \( n \) durch \( m \) teilbar ist. Das ist nur der Fall, wenn \( n = m \). 3. **Transitivität**: Wenn \( (n, m) \in R \) und \( (m, k) \in R \), dann ist \( k \) durch \( m \) teilbar und \( m \) durch \( n \) teilbar, was bedeutet, dass \( k \) auch durch \( n \) teilbar ist, also \( (n, k) \in R \). Die Relation ist jedoch keine Totalordnung, weil nicht für alle \( n, m \in \mathbb{N} \) gilt, dass entweder \( (n, m) \in R \) oder \( (m, n) \in R \). Zum Beispiel sind \( 2 \) und \( 3 \) zwei natürliche Zahlen, wobei \( 3 \) nicht durch \( 2 \) teilbar ist und umgekehrt. Daher gibt es Paare von Elementen, die nicht in der Relation stehen, was die Totalität der Relation verletzt. Zusammenfassend ist \( R \) eine Halbordnung, weil sie reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist, aber keine Totalordnung, weil nicht alle Paare von Elementen vergleichbar sind.