Gegeben ist die rekursiv definierte Folge a(n+1) = 12 ⋅ a(n) + 1 mit a1 = 1. Wie lautet die explizit definierte Folge a(n) mit n ∈ N*?

Um die rekursiv definierte Folge \( a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n + 1 \) mit \( a_1 = 1 \) in eine explizite Form zu bringen, können wir die ersten Werte der Folge berechnen und dann ein Muster erkennen.

1. **Berechnung der ersten Werte:**
- \( a_1 = 1 \)
- \( a_2 = \frac{1}{2} a_1 + 1 = \frac{1}{2} \cdot 1 + 1 = \frac{3}{2} \)
- \( a_3 = \frac{1}{2} a_2 + 1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} + 1 = \frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4} \)
- \( a_4 = \frac{1}{2} a_3 + 1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{4} + 1 = \frac{7}{8} + 1 = \frac{15}{8} \)

2. **Allgemeine Form finden:**
Um die explizite Formel zu finden, betrachten wir die Struktur der rekursiven Beziehung. Wir können die Gleichung umstellen:

\[
a_{n+1} - 2 = \frac{1}{2} (a_n - 2)
\]

Setzen wir \( b_n = a_n - 2 \), dann erhalten wir:

\[
b_{n+1} = \frac{1}{2} b_n
\]

Da \( a_1 = 1 \), folgt \( b_1 = 1 - 2 = -1 \). Damit ergibt sich:

\[
b_n = -\frac{1}{2^{n-1}}
\]

Also ist:

\[
a_n = b_n + 2 = -\frac{1}{2^{n-1}} + 2
\]

3. **Explizite Formel:**
Die explizite Formel für die Folge \( a_n \) lautet somit:

\[
a_n = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}
\]

Diese Formel beschreibt die explizit definierte Folge \( a_n \) für \( n \in \mathbb{N}^* \).