Um die rekursiv definierte Folge \( a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n + 1 \) mit \( a_1 = 1 \) in eine explizite Form zu bringen, können wir die ersten Werte der Folge berechnen und dann ein Muster erkennen. 1. **Berechnung der ersten Werte:** - \( a_1 = 1 \) - \( a_2 = \frac{1}{2} a_1 + 1 = \frac{1}{2} \cdot 1 + 1 = \frac{3}{2} \) - \( a_3 = \frac{1}{2} a_2 + 1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} + 1 = \frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4} \) - \( a_4 = \frac{1}{2} a_3 + 1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{4} + 1 = \frac{7}{8} + 1 = \frac{15}{8} \) 2. **Allgemeine Form finden:** Um die explizite Formel zu finden, betrachten wir die Struktur der rekursiven Beziehung. Wir können die Gleichung umstellen: \[ a_{n+1} - 2 = \frac{1}{2} (a_n - 2) \] Setzen wir \( b_n = a_n - 2 \), dann erhalten wir: \[ b_{n+1} = \frac{1}{2} b_n \] Da \( a_1 = 1 \), folgt \( b_1 = 1 - 2 = -1 \). Damit ergibt sich: \[ b_n = -\frac{1}{2^{n-1}} \] Also ist: \[ a_n = b_n + 2 = -\frac{1}{2^{n-1}} + 2 \] 3. **Explizite Formel:** Die explizite Formel für die Folge \( a_n \) lautet somit: \[ a_n = 2 - \frac{1}{2^{n-1}} \] Diese Formel beschreibt die explizit definierte Folge \( a_n \) für \( n \in \mathbb{N}^* \).