Reihenfolge 2, 6, 12, 20: Finde einen verständlichen Term für Sechstklässler und bestimme das 100. Glied.

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Reihenfolge 2, 6, 12, 20: Finde einen verständlichen Term für Sechstklässler und bestimme das 100. Glied.

Antwort

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Was bedeutet Berücksichtigung der Reihenfolge in der Kombinatorik?

Wie sind die Begriffe Wiederholung und Reihenfolge bei Permutationen definiert?

Wie rechnet man den Term −3x² + 15x aus?

Wie nennt man die Hierarchie der mathematischen Operatoren?

Accepted Answer

Um die gegebene Reihenfolge 2, 6, 12, 20 zu analysieren, schauen wir uns die Differenzen zwischen den aufeinanderfolgenden Zahlen an: - 6 - 2 = 4 - 12 - 6 = 6 - 20 - 12 = 8 Die Differenzen also 4, 6 und 8. Diese Differenzen steigen um 2. Das bedeutet, dass die nächste Differenz 10 sein wird. Wenn wir die Differenzen weiterführen, erhalten wir: - Nächste Differenz: 10 (20 + 10 = 30) - Nächste Differenz: 12 (30 + 12 = 42) - Nächste Differenz: 14 (42 + 14 = 56) Die Zahlenfolge sieht also so aus: 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, ... Um einen allgemeinen Term für die n-te Zahl der Folge zu finden, können wir die Formel für die n-te Dreieckszahl verwenden, da die Differenzen eine arithmetische Folge bilden. Die n-te Zahl der Folge kann durch die Formel: \[ a_n = \frac{n(n + 1)}{2} + n \] ausgedrückt werden. Diese Formel ergibt sich aus der Summe der ersten n natürlichen Zahlen plus n. Um das 100. Glied zu bestimmen, setzen wir n = 100 in die Formel ein: \[ a_{100} = \frac{100(100 + 1)}{2} + 100 \] \[ a_{100} = \frac{100 \cdot 101}{2} + 100 \] \[ a_{100} = 5050 + 100 \] \[ a_{100} = 5150 \] Das 100. Glied der Folge ist also 5150.

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In der Kombinatorik bedeutet „mit Berücksichtigung der Reihenfolge“, dass die Anordnung der ausgewählten Elemente eine Rolle spielt. Das heißt: Verschiedene Reihenfolgen de... [mehr]

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In der Kombinatorik bedeutet „mit Berücksichtigung der Reihenfolge“, dass die Anordnung der ausgewählten Elemente eine Rolle spielt. Das heißt: Verschiedene Reihenfolgen derselben Elemente werden als unterschiedliche Möglichkeiten gezählt. Beispiel: Du hast die Elemente A, B und C und wählst zwei davon aus. - **Mit Berücksichtigung der Reihenfolge** (z. B. Permutationen): Die Paare AB und BA sind verschieden, weil die Reihenfolge zählt. - **Ohne Berücksichtigung der Reihenfolge** (z. B. Kombinationen): Die Paare AB und BA sind gleich, weil nur die Auswahl, nicht aber die Reihenfolge zählt. Kurz gesagt: „Mit Berücksichtigung der Reihenfolge“ = Die Anordnung ist wichtig. „Ohne Berücksichtigung der Reihenfolge“ = Die Anordnung ist egal.

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In der Kombinatorik, insbesondere bei Permutationen, sind die Begriffe **Wiederholung** und **Reihenfolge** zentral: **Wiederholung:** Wiederholung bedeutet, dass ein Element mehrmals ausgewäh... [mehr]

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In der Kombinatorik, insbesondere bei Permutationen, sind die Begriffe **Wiederholung** und **Reihenfolge** zentral: **Wiederholung:** Wiederholung bedeutet, dass ein Element mehrmals ausgewählt oder verwendet werden darf. - **Mit Wiederholung:** Ein Element kann beliebig oft in der Anordnung vorkommen. - **Ohne Wiederholung:** Jedes Element darf nur einmal verwendet werden. **Reihenfolge:** Reihenfolge gibt an, ob die Anordnung der Elemente eine Rolle spielt. - **Mit Reihenfolge:** Es ist wichtig, in welcher Reihenfolge die Elemente angeordnet sind (z. B. 123 ≠ 321). - **Ohne Reihenfolge:** Die Anordnung spielt keine Rolle, nur die Auswahl der Elemente zählt (z. B. {1,2,3} = {3,2,1}). **Zusammengefasst:** - **Permutation:** Immer mit Reihenfolge, meist ohne Wiederholung. - **Kombination:** Ohne Reihenfolge, meist ohne Wiederholung. - **Variation:** Mit Reihenfolge, mit oder ohne Wiederholung. Diese Unterscheidung ist wichtig, um die richtige Formel für die Berechnung der Möglichkeiten zu wählen.

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Um den Term \(-3x^2 + 15x\) zu vereinfachen oder zu berechnen, gibt es verschiedene Möglichkeiten – je nachdem, was genau gefragt ist: **1. Ausklammern:** Du kannst den gemeinsamen Faktor... [mehr]

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Um den Term \(-3x^2 + 15x\) zu vereinfachen oder zu berechnen, gibt es verschiedene Möglichkeiten – je nachdem, was genau gefragt ist: **1. Ausklammern:** Du kannst den gemeinsamen Faktor ausklammern. In diesem Fall ist das \(x\): \[ -3x^2 + 15x = x(-3x + 15) \] Oder du kannst sogar noch weiter gehen und die -3 ausklammern: \[ -3x^2 + 15x = -3x(x - 5) \] **2. Wert berechnen:** Wenn du für \(x\) einen bestimmten Wert hast, kannst du diesen einfach einsetzen und den Term berechnen. Zum Beispiel für \(x = 2\): \[ -3 \cdot (2)^2 + 15 \cdot 2 = -3 \cdot 4 + 30 = -12 + 30 = 18 \] **3. Nullstellen berechnen:** Falls du die Nullstellen suchst, setzt du den Term gleich Null und löst nach \(x\): \[ -3x^2 + 15x = 0 \\ x(-3x + 15) = 0 \] Daraus folgt: \[ x_1 = 0 \\ -3x + 15 = 0 \implies x_2 = 5 \] **Fazit:** Du kannst den Term also ausklammern, berechnen (wenn \(x\) gegeben ist) oder die Nullstellen bestimmen – je nachdem, was gefragt ist.

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Die Hierarchie der mathematischen Operatoren nennt man **Operatorrangfolge** oder **Operatorpräzedenz**. Im Englischen spricht man von **order of operations** oder **operator precedence**. Sie le... [mehr]

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Die Hierarchie der mathematischen Operatoren nennt man **Operatorrangfolge** oder **Operatorpräzedenz**. Im Englischen spricht man von **order of operations** oder **operator precedence**. Sie legt fest, in welcher Reihenfolge mathematische Ausdrücke mit mehreren Operatoren ausgewertet werden.