Um diese Aufgabe zu lösen, müssen die ursprünglichen Seitenlängen des Rechtecks bestimmt werden. Gegeben sind der Umfang und die Veränderung der Seitenlängen, die zu einer Änderung des Flächeninhalts führen. 1. **Umfang des Rechtecks:** Der Umfang \( U \) eines Rechtecks mit den Seitenlängen \( a \) und \( b \) ist gegeben durch: \[ U = 2a + 2b = 16 \, \text{cm} \] Daraus folgt: \[ a + b = 8 \, \text{cm} \] 2. **Veränderung der Seitenlängen:** Wenn die eine Seite um 1 cm verkürzt und die andere um 1 cm verlängert wird, ändern sich die Seitenlängen zu \( a-1 \) und \( b+1 \). 3. **Änderung des Flächeninhalts:** Der ursprüngliche Flächeninhalt \( A \) ist: \[ A = a \cdot b \] Der neue Flächeninhalt \( A' \) ist: \[ A' = (a-1) \cdot (b+1) \] Es ist gegeben, dass sich der Flächeninhalt um 5 cm² verkleinert: \[ A - A' = 5 \, \text{cm}^2 \] Setzen wir die Ausdrücke für \( A \) und \( A' \) ein: \[ a \cdot b - (a-1)(b+1) = 5 \] Vereinfachen wir den Ausdruck: \[ a \cdot b - (ab + b - a - 1) = 5 \] \[ a \cdot b - ab - b + a + 1 = 5 \] \[ -b + a + 1 = 5 \] \[ a - b = 4 \] 4. **Lösen des Gleichungssystems:** Nun haben wir zwei Gleichungen: \[ a + b = 8 \] \[ a - b = 4 \] Addieren wir diese beiden Gleichungen: \[ (a + b) + (a - b) = 8 + 4 \] \[ 2a = 12 \] \[ a = 6 \] Setzen wir \( a = 6 \) in die erste Gleichung ein: \[ 6 + b = 8 \] \[ b = 2 \] Die ursprünglichen Seitenlängen des Rechtecks sind also \( a = 6 \) cm und \( b = 2 \) cm.