Ein quaderförmiges Paket hat ein Volumen von 12 Litern und eine Oberfläche von 1600 cm². Berechne Oberfläche und Volumen, wenn alle Kantenlängen halbiert werden.

Question

Ein quaderförmiges Paket hat ein Volumen von 12 Litern und eine Oberfläche von 1600 cm². Berechne Oberfläche und Volumen, wenn alle Kantenlängen halbiert werden.

Antwort

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Wie berechnet man, wie viele Schachteln mit den Maßen l x b x h optimal in einen Packkarton mit den Maßen L x B x H in Zentimeter passen?

Wie berechnet man, wie viele Schachteln mit l x b x h cm in einen Karton mit l x b x h cm passen?

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Wie ändert sich das Kegelvolumen bei doppeltem Radius und halber Höhe?

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Wie verändert sich das Volumen eines Kegels, wenn die Höhe verdoppelt wird?

Accepted Answer

Um die neuen Werte für das Volumen und die Oberfläche eines quaderförmigen Pakets zu berechnen, wenn alle Kantenlängen halbiert werden, können wir die folgenden Schritte durchführen: 1. **Volumen**: Das Volumen \( V \) eines Quaders wird durch die Formel \( V = a \cdot b \cdot c \) berechnet, wobei \( a \), \( b \) und \( c \) die Kantenlängen sind. Wenn alle Kantenlängen halbiert werden, wird das neue Volumen \( V' \) wie folgt berechnet: \[ V' = \left(\frac{a}{2}\right) \cdot \left(\frac{b}{2}\right) \cdot \left(\frac{c}{2}\right) = \frac{1}{8} \cdot (a \cdot b \cdot c) = \frac{1}{8} \cdot V \] Da das ursprüngliche Volumen 12 Liter (oder 12000 cm³) beträgt: \[ V' = \frac{1}{8} \cdot 12000 \, \text{cm}^3 = 1500 \, \text{cm}^3 \] 2. **Oberfläche**: Die Oberfläche \( A \) eines Quaders wird durch die Formel \( A = 2(ab + ac + bc) \) berechnet. Wenn alle Kantenlängen halbiert werden, wird die neue Oberfläche \( A' \) wie folgt berechnet: \[ A' = 2\left(\frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} + \frac{a}{2} \cdot \frac{c}{2} + \frac{b}{2} \cdot \frac{c}{2}\right) = \frac{1}{4} \cdot (2(ab + ac + bc)) = \frac{1}{4} \cdot A \] Da die ursprüngliche Oberfläche 1600 cm² beträgt: \[ A' = \frac{1}{4} \cdot 1600 \, \text{cm}^2 = 400 \, \text{cm}^2 \] Zusammenfassend ergibt sich: - Neues Volumen: 1500 cm³ - Neue Oberfläche: 400 cm²

Accepted Answer

Um zu berechnen, wie viele kleinere Schachteln (mit den Maßen l₁ × b₁ × h₁) optimal in einen größeren Packkarton (mit den Maßen L × B × H) passen, nutzt... [mehr]

Accepted Answer

Um zu berechnen, wie viele kleinere Schachteln (mit den Maßen l₁ × b₁ × h₁) optimal in einen größeren Packkarton (mit den Maßen L × B × H) passen, nutzt du folgende Formel: **Anzahl = (L ÷ l₁) × (B ÷ b₁) × (H ÷ h₁)** Dabei steht "÷" für die ganzzahlige Division (also abrunden auf die nächste ganze Zahl). **Formel ausgeschrieben:** Anzahl = GANZZAHL(L / l₁) × GANZZAHL(B / b₁) × GANZZAHL(H / h₁) **Beispiel:** - Schachtel: 10 × 5 × 4 cm - Karton: 40 × 20 × 8 cm Anzahl = GANZZAHL(40/10) × GANZZAHL(20/5) × GANZZAHL(8/4) Anzahl = 4 × 4 × 2 = **32 Schachteln** **Hinweis:** Diese Formel gilt, wenn die Schachteln nicht gedreht werden. Für eine optimale Ausnutzung (mit Drehen der Schachteln) müsste man alle möglichen Anordnungen durchprobieren und die maximale Anzahl wählen. Das ist deutlich komplexer und erfordert meist spezielle Software (Stichwort: "3D Bin Packing Problem").

Accepted Answer

Um zu berechnen, wie viele kleinere Schachteln (mit den Maßen l₁ × b₁ × h₁) in einen größeren Packkarton (mit den Maßen L × B × H) passen, nutzt du folge... [mehr]

Accepted Answer

Um zu berechnen, wie viele kleinere Schachteln (mit den Maßen l₁ × b₁ × h₁) in einen größeren Packkarton (mit den Maßen L × B × H) passen, nutzt du folgende Formel: **1. Berechne, wie oft jede Schachtel-Seite in die entsprechende Karton-Seite passt:** - In L-Richtung: n₁ = ganzzahliger Anteil von (L / l₁) - In B-Richtung: n₂ = ganzzahliger Anteil von (B / b₁) - In H-Richtung: n₃ = ganzzahliger Anteil von (H / h₁) **2. Multipliziere die Ergebnisse:** **Anzahl Schachteln = n₁ × n₂ × n₃** **Formel:** ``` Anzahl = GANZZAHL(L / l₁) × GANZZAHL(B / b₁) × GANZZAHL(H / h₁) ``` *(GANZZAHL steht für die Abrundung auf die nächste ganze Zahl nach unten)* **Beispiel:** - Schachtel: 10 × 5 × 4 cm - Karton: 40 × 20 × 8 cm n₁ = GANZZAHL(40 / 10) = 4 n₂ = GANZZAHL(20 / 5) = 4 n₃ = GANZZAHL(8 / 4) = 2 Anzahl = 4 × 4 × 2 = **32 Schachteln** **Hinweis:** Diese Formel gilt, wenn die Schachteln nicht gedreht werden. Für optimale Ausnutzung (mit Drehen) müsste man alle möglichen Anordnungen prüfen und die größte Anzahl wählen.

Accepted Answer

Ein Kubus ist ein Würfel. In der Mathematik bezeichnet man einen Würfel als Kubus, wenn alle Seiten gleich lang sind und alle Winkel rechte Winkel sind. Ein Quader hingegen ist ein allgemein... [mehr]

Accepted Answer

Ein Kubus ist ein Würfel. In der Mathematik bezeichnet man einen Würfel als Kubus, wenn alle Seiten gleich lang sind und alle Winkel rechte Winkel sind. Ein Quader hingegen ist ein allgemeiner rechteckiger Körper, bei dem die Seitenflächen Rechtecke sind, aber die Kantenlängen unterschiedlich sein können. Jeder Kubus ist also ein spezieller Quader, aber nicht jeder Quader ist ein Kubus.

Accepted Answer

Um die Höhe des Sands in der Sandkiste zu berechnen, nutzt du die Formel für das Volumen eines Quaders: **Volumen = Grundfläche × Höhe** Gegeben: - Grundfläche: 4 m &t... [mehr]

Accepted Answer

Um die Höhe des Sands in der Sandkiste zu berechnen, nutzt du die Formel für das Volumen eines Quaders: **Volumen = Grundfläche × Höhe** Gegeben: - Grundfläche: 4 m × 2,5 m = 10 m² - Volumen: 2 m³ Gesucht: Höhe (h) Setze die Werte ein: 2 m³ = 10 m² × h Löse nach h auf: h = 2 m³ / 10 m² h = 0,2 m **Antwort:** Der Sand steht **0,2 Meter** (also **20 Zentimeter**) hoch in der Sandkiste.

Accepted Answer

Das Volumen \( V \) eines Kegels berechnet sich mit der Formel: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] Angenommen, der ursprüngliche Radius ist \( r \) und die ursprüngliche Höhe ist \( h \)... [mehr]

Accepted Answer

Das Volumen \( V \) eines Kegels berechnet sich mit der Formel: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] Angenommen, der ursprüngliche Radius ist \( r \) und die ursprüngliche Höhe ist \( h \). **Neue Werte:** - Der Radius wird verdoppelt: \( r_{neu} = 2r \) - Die Höhe wird halbiert: \( h_{neu} = \frac{h}{2} \) Setze die neuen Werte in die Volumenformel ein: \[ V_{neu} = \frac{1}{3} \pi (2r)^2 \left(\frac{h}{2}\right) \] \[ V_{neu} = \frac{1}{3} \pi (4r^2) \left(\frac{h}{2}\right) \] \[ V_{neu} = \frac{1}{3} \pi \cdot 4r^2 \cdot \frac{h}{2} \] \[ V_{neu} = \frac{1}{3} \pi \cdot 2r^2 h \] \[ V_{neu} = 2 \left(\frac{1}{3} \pi r^2 h\right) \] \[ V_{neu} = 2V \] **Fazit:** Das Volumen des Kegels verdoppelt sich.

Accepted Answer

Das Volumen \( V \) eines Kegels berechnet sich mit der Formel: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] Wenn sowohl der Radius \( r \) als auch die Höhe \( h \) verdoppelt werden, setzt man \( r'... [mehr]

Accepted Answer

Das Volumen \( V \) eines Kegels berechnet sich mit der Formel: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] Wenn sowohl der Radius \( r \) als auch die Höhe \( h \) verdoppelt werden, setzt man \( r' = 2r \) und \( h' = 2h \) ein: \[ V' = \frac{1}{3} \pi (2r)^2 (2h) = \frac{1}{3} \pi \cdot 4r^2 \cdot 2h = \frac{1}{3} \pi \cdot 8r^2 h = 8 \left( \frac{1}{3} \pi r^2 h \right) = 8V \] Das Volumen des Kegels wird also **achtmal so groß**.

Accepted Answer

Das Volumen \( V \) eines Kegels berechnet sich mit der Formel: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] Dabei ist \( r \) der Radius der Grundfläche und \( h \) die Höhe des Kegels. Wenn die H&ou... [mehr]

Accepted Answer

Das Volumen \( V \) eines Kegels berechnet sich mit der Formel: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] Dabei ist \( r \) der Radius der Grundfläche und \( h \) die Höhe des Kegels. Wenn die Höhe \( h \) verdoppelt wird (\( h' = 2h \)), dann wird das neue Volumen \( V' \): \[ V' = \frac{1}{3} \pi r^2 (2h) = 2 \left( \frac{1}{3} \pi r^2 h \right) = 2V \] Das Volumen des Kegels verdoppelt sich also, wenn die Höhe verdoppelt wird (bei gleichbleibendem Radius).