Liegt der Punkt P(5|14|1) auf der Geraden g durch die Punkte A(4|3|2) und B(3|-8|3)?

Um zu überprüfen, ob der Punkt \( P(5|14|1) \) auf der Geraden \( g \) liegt, die durch die Punkte \( A(-4|3|2) \) und \( B(3|-8|3) \) definiert ist, müssen wir zunächst die Gleichung der Geraden \( g \) aufstellen. 1. **Richtungsvektor der Geraden \( g \)**: Der Richtungsvektor \( \vec{AB} \) von \( A \) nach \( B \) wird berechnet als: \[ \vec{AB} = B - A = (3 - (-4), -8 - 3, 3 - 2) = (7, -11, 1) \] 2.Parametrische Gleichung der Geraden \( g \)**: Die parametrische Gleichung der Geraden \( g \) kann dann wie folgt geschrieben werden: \[ \vec{r}(t) = A + t \cdot \vec{AB} = (-4, 3, 2) + t \cdot (7, -11, 1) \] Das ergibt die Komponenten: \[ x = -4 + 7t, \quad y = 3 - 11t, \quad z = 2 + t \] 3. **Überprüfung, ob \( P(5|14|1) \) auf der Geraden liegt**: Setze die Koordinaten von \( P \) in die Gleichungen ein und löse nach \( t \): - Für \( x \): \[ 5 = -4 + 7t \implies 7t = 9 \implies t = \frac{9}{7} \] - Für \( y \): \[ 14 = 3 - 11t \implies 11t = -11 \implies t = -1 \] - Für \( z \): \[ 1 = 2 + t \implies t = -1 \4. **Ergebnis**: Die Werte für \( t \) sind nicht konsistent. Für \( x \) ergibt sich \( t = \frac{9}{7} \), während für \( y \) und \( z \) \( t = -1 \) ergibt. Da die Werte für \( t \) unterschiedlich sind, liegt der Punkt \( P(5|14|1) \) nicht auf der Geraden \( g \).