Das geometrische Mittel berechnest du, indem du alle Zahlen miteinander multiplizierst und danach die n-te Wurzel aus dem Produkt ziehst; bei \(n\) Zahlen also \((x1 \cdot x2 \cdot \dots \cdot xn)^{1/...
Zeige, dass sich aus fünf natürlichen Zahlen stets drei auswählen lassen, deren Produkt durch 3 teilbar ist.
Antwort vomUm zu zeigen, dass sich aus fünf natürlichen Zahlen stets drei auswählen lassen, deren Produkt durch 3 teilbar ist, können wir den Satz der Schubfachprinzipien verwenden. 1. **Betrachte die möglichen Reste modulo 3**: Jede natürliche Zahl kann einen der drei Reste 0, 1 oder 2 haben, wenn sie durch 3 geteilt wird. Das bedeutet, dass jede natürliche Zahl entweder durch 3 teilbar ist (Rest 0), einen Rest von 1 hat oder einen Rest von 2 hat. 2. **Anzahl der Zahlen**: Wenn wir fünf natürliche Zahlen haben, können wir diese in die drei Kategorien (Reste) einteilen. 3. **Anwendung des Schubfachprinzips**: Nach dem Schubfachprinzip, wenn wir mehr Objekte (in diesem Fall die fünf Zahlen) als Fächer (in diesem Fall die drei möglichen Reste) haben, muss mindestens ein Fach mehr als einmal belegt sein. Das bedeutet, dass mindestens eine der Kategorien (Reste) mindestens zwei Zahlen enthalten muss. 4. **Fallunterscheidung**: - **Fall 1**: Wenn mindestens eine der fünf Zahlen durch 3 teilbar ist (Rest 0), dann ist das Produkt dieser Zahl mit zwei anderen Zahlen (egal welche) durch 3 teilbar. - **Fall 2**: Wenn keine der Zahlen durch 3 teilbar ist, dann haben wir nur die Reste 1 und 2. Da wir fünf Zahlen haben und nur zwei Reste (1 und 2), muss mindestens einer dieser Reste mindestens drei Zahlen enthalten. - Wenn es drei Zahlen mit Rest 1 gibt, ist das Produkt dieser drei Zahlen nicht durch 3 teilbar. - Wenn es drei Zahlen mit Rest 2 gibt, ist das Produkt dieser drei Zahlen ebenfalls nicht durch 3 teilbar. - Wenn es zwei Zahlen mit Rest 1 und drei mit Rest 2 gibt, dann ist das Produkt der drei Zahlen mit Rest 2 nicht durch 3 teilbar, aber wir können immer noch eine Zahl mit Rest 1 wählen, um das Produkt durch 3 teilbar zu machen. In jedem Fall können wir also immer drei Zahlen auswählen, deren Produkt durch 3 teilbar ist. Daher ist die Aussage bewiesen.
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