Wie berechne ich die Oberfläche einer regelmäßigen fünfseitigen Pyramide mit Grundkante a = 6 cm und Volumen V = 165 cm³?

Um die Oberfläche einer regelmäßigen fünfseitigen Pyramide zu berechnen, sind folgende Schritte notwendig:

1. **Berechnung der Höhe der Pyramide (h):**
Das Volumen \( V \) einer Pyramide wird durch die Formel \( V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h \) berechnet, wobei \( G \) die Grundfläche und \( h \) die Höhe der Pyramide ist.

Zuerst muss die Grundfläche \( G \) berechnet werden. Für ein regelmäßiges Fünfeck mit Seitenlänge \( a \) gilt:
\[
G = \frac{5}{4} \cdot a^2 \cdot \cot\left(\frac{\pi}{5}\right)
\]
Setze \( a = 6 \) cm ein:
\[
G = \frac{5}{4} \cdot 6^2 \cdot \cot\left(\frac{\pi}{5}\right)
\]
\[
G = \frac{5}{4} \cdot 36 \cdot \cot\left(\frac{\pi}{5}\right)
\]
\[
G = 45 \cdot \cot\left(\frac{\pi}{5}\right)
\]
Der Wert von \( \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) \) ist ungefähr 1,37638:
\[
G \approx 45 \cdot 1,37638 \approx 61,9371 \, \text{cm}^2
\]

Nun kann die Höhe \( h \) berechnet werden:
\[
V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h
\]
\[
165 = \frac{1}{3} \cdot 61,9371 \cdot h
\]
\[
165 = 20,6457 \cdot h
\]
\[
h \approx \frac{165}{20,6457} \approx 7,99 \, \text{cm}
\]

2. **Berechnung der Seitenhöhe (s):**
Die Seitenhöhe \( s \) (die Höhe eines der seitlichen Dreiecke) kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden. Dazu wird die Höhe des Fünfecks \( h_G \) benötigt, die von der Mitte des Fünfecks zu einer Seite verläuft:
\[
h_G = \frac{a}{2 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{5}\right)}
\]
\[
h_G = \frac{6}{2 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{5}\right)}
\]
Der Wert von \( \tan\left(\frac{\pi}{5}\right) \) ist ungefähr 0,72654:
\[
h_G \approx \frac{6}{2 \cdot 0,72654} \approx 4,13 \, \text{cm}
\]

Nun kann die Seitenhöhe \( s \) berechnet werden:
\[
s = \sqrt{h^2 + h_G^2}
\]
\[
s = \sqrt{7,99^2 + 4,13^2}
\]
\[
s \approx \sqrt{63,84 + 17,06} \approx \sqrt{80,90} \approx 8,99 \, \text{cm}
\]

3. **Berechnung der Oberfläche:**
Die Oberfläche \( O \) besteht aus der Grundfläche \( G \) und den fünf seitlichen Dreiecken. Die Fläche eines seitlichen Dreiecks ist:
\[
A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot s
\]
\[
A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8,99 \approx 26,97 \, \text{cm}^2
\]

Die gesamte Oberfläche ist:
\[
O = G + 5 \cdot A_{\text{Dreieck}}
\]
\[
O = 61,9371 + 5 \cdot 26,97
\]
\[
O = 61,9371 + 134,85 \approx 196,79 \, \text{cm}^2
\]

Die Oberfläche der