Wie löse ich die Nullgleichung 10x² - 10x + 5 = 0?

Um die quadratische Gleichung \(10x^2 - 10x + 5 = 0\) in faktorisierter Form zu schreiben, kann man die quadratische Ergänzung oder die Mitternachtsformel (Quadratische Formel) verwenden. Hier ist der Prozess der Faktorisierung:

1. **Quadratische Ergänzung:**

Die Gleichung lautet:
\[
10x^2 - 10x + 5 = 0
\]

Zuerst teilt man die gesamte Gleichung durch 10, um sie zu vereinfachen:
\[
x^2 - x + \frac{1}{2} = 0
\]

Nun verwendet man die quadratische Ergänzung:
\[
x^2 - x + \left(\frac{1}{2}\right) = 0
\]

Man fügt und subtrahiert \(\left(\frac{1}{2}\right)^2\) hinzu:
\[
x^2 - x + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} = 0
\]

Dies ergibt:
\[
\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 0
\]

Vereinfacht:
\[
\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4} = 0
\]

Dies ist jedoch keine faktorisierte Form, sondern zeigt, dass die Gleichung keine reellen Lösungen hat, da \(\left(x - \frac{1}{2}\right)^2\) immer nicht-negativ ist und \(\frac{1}{4}\) positiv ist.

2. **Mitternachtsformel:**

Die Mitternachtsformel lautet:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Für die Gleichung \(10x^2 - 10x + 5 = 0\) sind \(a = 10\), \(b = -10\) und \(c = 5\).

Berechne den Diskriminanten:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 5 = 100 - 200 = -100
\]

Da der Diskriminant negativ ist (\(\Delta < 0\)), hat die Gleichung keine reellen Lösungen und kann nicht in reelle Faktoren zerlegt werden.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Gleichung \(10x^2 - 10x + 5 = 0\) keine reellen Lösungen hat und daher nicht in reelle Faktoren zerlegt werden kann.