1 Frage zu Loesungsmethoden

Um die quadratische Gleichung \(10x^2 - 10x + 5 = 0\) in faktorisierter Form zu schreiben, kann man die quadratische Ergänzung oder die Mitternachtsformel (Quadratische Formel) verwenden. Hier ist der Prozess der Faktorisierung: 1. **Quadratische Ergänzung:** Die Gleichung lautet: \[ 10x^2 - 10x + 5 = 0 \] Zuerst teilt man die gesamte Gleichung durch 10, um sie zu vereinfachen: \[ x^2 - x + \frac{1}{2} = 0 \] Nun verwendet man die quadratische Ergänzung: \[ x^2 - x + \left(\frac{1}{2}\right) = 0 \] Man fügt und subtrahiert \(\left(\frac{1}{2}\right)^2\) hinzu: \[ x^2 - x + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} = 0 \] Dies ergibt: \[ \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = 0 \] Vereinfacht: \[ \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4} = 0 \] Dies ist jedoch keine faktorisierte Form, sondern zeigt, dass die Gleichung keine reellen Lösungen hat, da \(\left(x - \frac{1}{2}\right)^2\) immer nicht-negativ ist und \(\frac{1}{4}\) positiv ist. 2. **Mitternachtsformel:** Die Mitternachtsformel lautet: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Für die Gleichung \(10x^2 - 10x + 5 = 0\) sind \(a = 10\), \(b = -10\) und \(c = 5\). Berechne den Diskriminanten: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 5 = 100 - 200 = -100 \] Da der Diskriminant negativ ist (\(\Delta < 0\)), hat die Gleichung keine reellen Lösungen und kann nicht in reelle Faktoren zerlegt werden. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Gleichung \(10x^2 - 10x + 5 = 0\) keine reellen Lösungen hat und daher nicht in reelle Faktoren zerlegt werden kann.