Welche notwendige Bedingung existiert für einen Funktionsgraphen mit einer doppelten Nullstelle bei x0, an der die x-Achse berührt wird?

Question

Welche notwendige Bedingung existiert für einen Funktionsgraphen mit einer doppelten Nullstelle bei x0, an der die x-Achse berührt wird?

Antwort

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Bestimme die Nullstelle von f(x) = 2x - 4.

Accepted Answer

Wenn der Funktionsgraph bei \( x_0 \) eine doppelte Nullstelle hat und die x-Achse berührt, bedeutet dies, dass die Funktion an dieser Stelle nicht nur den Wert null annimmt, sondern auch, dass die erste Ableitung an dieser Stelle ebenfalls null ist. Die notwendigen Bedingungen sind daher: 1. \( f(x_0) = 0 \) (die Funktion hat an \( x_0 \) den Wert null). 2. \( f'(x_0) = 0 \) (die erste Ableitung ist ebenfalls null, was bedeutet, dass der Graph die x-Achse berührt und nicht schneidet). Zusätzlich könnte man auch sagen, dass die zweite Ableitung an dieser Stelle nicht null sein sollte, um sicherzustellen, dass es sich um eine doppelte Nullstelle handelt und der Graph tatsächlich die x-Achse berührt. Das bedeutet: 3. \( f''(x_0) \neq 0 \) (die zweite Ableitung ist nicht null, was auf eine Wende oder eine lokale Extremstelle hinweist). Diese Bedingungen zusammen charakterisieren eine doppelte Nullstelle.

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( h(x) = x^2 - 1,5 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ x^2 - 1,5 = 0 \] Das kann umgeformt werden zu: \[ x^2 = 1,5 \] Nun zieht man die Quadra... [mehr]

Accepted Answer

Um die Nullstellen der Funktion \( h(x) = x^2 - 1,5 \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ x^2 - 1,5 = 0 \] Das kann umgeformt werden zu: \[ x^2 = 1,5 \] Nun zieht man die Quadratwurzel auf beiden Seiten: \[ x = \pm \sqrt{1,5} \] Die Nullstellen sind also: \[ x = \sqrt{1,5} \quad \text{und} \quad x = -\sqrt{1,5} \] Das ergibt die ungefähren Werte: \[ x \approx 1,22 \quad \text{und} \quad x \approx -1,22 \] Somit sind die Nullstellen von \( h(x) \) bei \( x \approx 1,22 \) und \( x \approx -1,22 \).

Accepted Answer

Um die Nullstelle der Funktion \( f(x) = \frac{ab}{(x+b)^2} \) zu berechnen, setzt man die Funktion gleich null: \[ \frac{ab}{(x+b)^2} = 0 \] Eine Bruchgleichung ist genau dann null, wenn der Zä... [mehr]

Accepted Answer

Um die Nullstelle der Funktion \( f(x) = \frac{ab}{(x+b)^2} \) zu berechnen, setzt man die Funktion gleich null: \[ \frac{ab}{(x+b)^2} = 0 \] Eine Bruchgleichung ist genau dann null, wenn der Zähler null ist (vorausgesetzt, der Nenner ist nicht null). Daher setzen wir den Zähler gleich null: \[ ab = 0 \] Das bedeutet, dass entweder \( a = 0 \) oder \( b = 0 \) sein muss, um eine Nullstelle zu haben. Beachte, dass der Nenner \( (x+b)^2 \) niemals null sein kann, solange \( x \neq -b \). Daher gibt es keine Nullstelle in der Funktion, solange \( a \) und \( b \) nicht gleich null sind. Zusammenfassend: Die Nullstelle der Funktion existiert nur, wenn \( a = 0 \) oder \( b = 0 \).

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Um die Nullstelle der Funktion \( f(x) = (x - 1) - \ln(x) \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ f(x) = 0 \implies (x - 1) - \ln(x) = 0 \] Das vereinfacht sich zu: \[ x - 1 = \ln(x) \... [mehr]

Accepted Answer

Um die Nullstelle der Funktion \( f(x) = (x - 1) - \ln(x) \) zu finden, setzt man die Funktion gleich null: \[ f(x) = 0 \implies (x - 1) - \ln(x) = 0 \] Das vereinfacht sich zu: \[ x - 1 = \ln(x) \] Diese Gleichung kann nicht analytisch gelöst werden, daher ist es sinnvoll, numerische Methoden oder grafische Verfahren zu verwenden, um die Nullstelle zu finden. Eine Möglichkeit ist, die Funktion \( g(x) = x - 1 - \ln(x) \) zu betrachten und deren Werte an verschiedenen Stellen zu berechnen: - Für \( x = 1 \): \[ g(1) = 1 - 1 - \ln(1) = 0 \] - Für \( x = 2 \): \[ g(2) = 2 - 1 - \ln(2) \approx 1 - 0.693 = 0.307 \] - Für \( x = 0.5 \): \[ g(0.5) = 0.5 - 1 - \ln(0.5) \approx -0.5 + 0.693 = 0.193 \] Da \( g(1) = 0 \), ist \( x = 1 \) eine Nullstelle der Funktion \( f(x) \). Zusammenfassend ist die Nullstelle von \( f(x) \) bei \( x = 1 \).

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Um die Nullstelle der Funktion \( f(x) = 4 - 7x \) zu bestimmen, setzt man die Funktion gleich null: \[ 4 - 7x = 0 \] Nun löst man die Gleichung nach \( x \) auf: 1. Subtrahiere 4 von beiden S... [mehr]

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Um die Nullstelle der Funktion \( f(x) = 4 - 7x \) zu bestimmen, setzt man die Funktion gleich null: \[ 4 - 7x = 0 \] Nun löst man die Gleichung nach \( x \) auf: 1. Subtrahiere 4 von beiden Seiten: \[ -7x = -4 \] 2. Teile beide Seiten durch -7: \[ x = \frac{4}{7} \] Die Nullstelle der Funktion ist also \( x = \frac{4}{7} \).

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Um die Nullstelle der Funktion \( f(x) = 2x - 4 \) zu bestimmen, setzt man die Funktion gleich null: \[ 2x - 4 = 0 \] Nun löst man die Gleichung nach \( x \) auf: 1. Addiere zu beiden Seiten:... [mehr]

Accepted Answer

Um die Nullstelle der Funktion \( f(x) = 2x - 4 \) zu bestimmen, setzt man die Funktion gleich null: \[ 2x - 4 = 0 \] Nun löst man die Gleichung nach \( x \) auf: 1. Addiere zu beiden Seiten: \[2x = 4 \] 2. Teile beide Seiten durch 2: \[ x = 2 \] Die Nullstelle der Funktion ist also \( x = 2 \).